4. 已知点$A(a + 1,4)$,$B(3,2a + 2)$,$P(b,0)$,若直线$AB// x$轴,点$P在x$轴的负半轴上,则点$M(a - b,a - 2)$在第象限。

四

因为直线$AB// x$轴，所以点$A$和点$B$的纵坐标相等，即$4 = 2a + 2$，解得$a=1$。
点$P(b,0)$在$x$轴的负半轴上，所以$b＜0$。
则$a - b=1 - b$，因为$b＜0$，所以$-b＞0$，$1 - b＞1＞0$；$a - 2=1 - 2=-1＜0$。
所以点$M(a - b,a - 2)$的坐标为$(正数,负数)$，在第四象限。
四

5. 在平面直角坐标系中,在第一象限内有一点$P(4 - 2m,m + 3)$,且点$P到x轴的距离是到y轴距离的2$倍,则点$P$的坐标为 。

(2,4)

点$P(4 - 2m,m + 3)$在第一象限，所以$4 - 2m＞0$，$m + 3＞0$。
点$P$到$x$轴的距离是$|m + 3|$，到$y$轴的距离是$|4 - 2m|$。
因为点$P$在第一象限，所以$|m + 3|=m + 3$，$|4 - 2m|=4 - 2m$。
已知点$P$到$x$轴的距离是到$y$轴距离的$2$倍，可得$m + 3 = 2(4 - 2m)$。
解方程：$m + 3 = 8 - 4m$，$m + 4m = 8 - 3$，$5m = 5$，$m = 1$。
当$m = 1$时，$4 - 2m = 4 - 2×1 = 2$，$m + 3 = 1 + 3 = 4$。
所以点$P$的坐标为$(2,4)$。

6. 如图 3-3,在平面直角坐标系中,已知$A(-2,1)$,$B(-4,3)$,$C(2,2)$。
(1)作出$\triangle ABC关于x轴对称的\triangle A'B'C'$,请分别写出$A'$,$B'$,$C'$的坐标；
(2)求$\triangle A'B'C'$的面积；
(3)在$x轴上确定一点P$,使得$\triangle PAC$周长最短,请画出点$P$的位置。(保留作图的痕迹)

解:
(1)如答图3-1①，△A'B'C'即为所求;
A'(-2,-1),B'(-4,-3),C'(2,-2)。
　　　　　
(2)△A'B'C'的面积为6×2 - $\frac{1}{2}$×2×2 - $\frac{1}{2}$×4×1 - $\frac{1}{2}$×6×1=5。
(3)如答图3-1②，连接AC'，AC'与x轴的交点即为所求的点P，
所以PA+PC的最小值即为AC'的长。
由勾股定理得AC'=$\sqrt{3^{2}+4^{2}}$=5。
所以PA+PC的最小值为5。

1. 综合与实践
【问题情境】
在平面直角坐标系中,有不重合的两点$A(x_1,y_1)和点B(x_2,y_2)$,若$x_1 = x_2$,则$AB// y$轴,且线段$AB的长度为|y_1 - y_2|$；若$y_1 = y_2$,则$AB// x$轴,且线段$AB的长度为|x_1 - x_2|$。
【知识应用】
(1)若点$A(-1,1)$,$B(2,1)$,则$AB// x$轴,$AB$的长度为 。例如：图 3-4①中,点$M(-1,1)与点N(1,-2)之间的折线距离d(M,N) = | - 1 - 1| + |1 - (-2)| = 2 + 3 = 5$。
【问题解决】
(2)如图 3-4②,已知$E(2,0)$,若$F(-1,-1)$,则$d(E,F) = $。
(3)如图 3-4②,已知$E(2,0)$,$G(1,t)$,若$d(E,G) = 3$,则$t$的值为。
(4)如图 3-4③,已知$E(2,0)$,$H(0,2)$,点$P是\triangle EOH$的边上一点,若$d(E,P) = \sqrt{6}$,求点$P$的坐标。

(1)3　
(2)4　
(3)±2
(4)解:①若点P在OE边上，可设点P的坐标为(x,0),
因为d(E,P)=$\sqrt{6}$,
所以|x - 2| + 0=$\sqrt{6}$,
所以x=2 + $\sqrt{6}$,或x=2 - $\sqrt{6}$。(都不符合题意，舍去)。
②若点P在OH边上，可设点P的坐标为(0,y),因为d(E,P)=$\sqrt{6}$,
所以|2 - 0| + |y|=$\sqrt{6}$,
所以y=$\sqrt{6}$ - 2,或y= - $\sqrt{6}$ + 2(不符合题意，舍去)，
所以P(0, $\sqrt{6}$ - 2)。
③若点P在HE边上，可设点P的坐标为(m,-m + 2),
因为d(E,P)=$\sqrt{6}$,
所以|m - 2| + | - m + 2|=$\sqrt{6}$,
m=2 - $\frac{\sqrt{6}}{2}$,或m=2 + $\frac{\sqrt{6}}{2}$(不符合题意，舍去)。
所以P(2 - $\frac{\sqrt{6}}{2}$,$\frac{\sqrt{6}}{2}$)。
所以符合条件的点P的坐标为P(0, $\sqrt{6}$ - 2),P(2 - $\frac{\sqrt{6}}{2}$,$\frac{\sqrt{6}}{2}$)。