例 2 如图,$F是\triangle ABC的边BC$延长线上的一点,$DF\perp AB$,垂足为点$D$,$\angle A= 30^{\circ}$,$\angle F= 40^{\circ}$,求$\angle ACF$的度数。
[解答] 因为$DF\perp AB$,
所以在$Rt\triangle ADE$中,$\angle A+\angle AED= 90^{\circ}$。
因为$\angle A= 30^{\circ}$,所以$\angle AED= 60^{\circ}$,
所以$\angle CEF= 60^{\circ}$。
在$\triangle CEF$中,
因为$\angle F+\angle CEF+\angle ACF= 180^{\circ}$,$\angle F= 40^{\circ}$,
所以$\angle ACF= 180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$。

因为$DF\perp AB$，
所以$\angle ADE=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADE$中，$\angle A+\angle AED=90^{\circ}$，
因为$\angle A=30^{\circ}$，
所以$\angle AED=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
因为$\angle AED=\angle CEF$（对顶角相等），
所以$\angle CEF=60^{\circ}$。
在$\triangle CEF$中，$\angle F+\angle CEF+\angle ACF=180^{\circ}$，
因为$\angle F=40^{\circ}$，
所以$\angle ACF=180^{\circ}-\angle F-\angle CEF=180^{\circ}-40^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$。
故$\angle ACF$的度数为$80^{\circ}$。

1. 如果一个三角形三个内角度数的比是$1:5:6$,那么这个三角形是()。
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.无法判断

A

设三角形三个内角分别为$x$，$5x$，$6x$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$x + 5x + 6x = 180°$，
$12x = 180°$，
$x = 15°$，
则三个内角分别为$15°$，$5×15° = 75°$，$6×15° = 90°$。
有一个角为$90°$，所以这个三角形是直角三角形。
A

2. 如图,一只手握住了一个三角形的一部分,则这个三角形是()。

A.钝角三角形
B.直角三角形
C.锐角三角形
D.以上都有可能

D

3. 如图,在$\triangle ABC$中,已知$\angle ACB= 90^{\circ}$,$\angle 1= \angle A$,则$\angle 2与\angle B$的大小关系是()。

A.$\angle 2＞\angle B$
B.$\angle 2＜\angle B$
C.$\angle 2= \angle B$
D.不能确定

C

证明：
∵在$\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，
∴$\angle A+\angle B=90^{\circ}$。
∵$\angle 1=\angle A$，
∴$\angle 1+\angle B=90^{\circ}$。
∵$\angle 1+\angle 2=\angle ACB=90^{\circ}$，
∴$\angle 2=\angle B$。
C

4. 在一个三角形中,如果一个角等于另外两个角的差,那么这个三角形一定是。

直角三角形

设三角形的三个内角分别为$∠A$、$∠B$、$∠C$，且$∠A = ∠B - ∠C$（假设$∠B ＞ ∠C$）。
因为三角形内角和为$180°$，所以$∠A + ∠B + ∠C = 180°$。
将$∠A = ∠B - ∠C$代入上式，得$∠B - ∠C + ∠B + ∠C = 180°$，化简得$2∠B = 180°$，解得$∠B = 90°$。
直角三角形

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$BD\perp AC$,垂足为点$D$,$CE\perp AB$,垂足为点$E$,$BD$,$CE相交于点F$,则图中直角三角形共有个,与$\angle 1$相等的角是。

6 ∠ACE

6. 如图,将分别含有$30^{\circ}$,$45^{\circ}$角的一副三角板重叠,使直角顶点重合,则图中角$\alpha$的度数为。

140°