登录
12. 如图,在一块长为 $10m$,宽为 $8m$ 的巨型装饰布上,要画出同样宽的两条互相垂直的分界带,剩余部分染成红色。要使剩余部分的面积为 $63m^2$,分界带的宽度应为多少米？
]
]
答案
12.1 m
解析
设分界带的宽度为$x\ m$。
剩余部分的长为$(10 - x)\ m$，宽为$(8 - x)\ m$，根据题意可得：
$(10 - x)(8 - x) = 63$
展开得：$80 - 10x - 8x + x^2 = 63$
化简为：$x^2 - 18x + 17 = 0$
因式分解：$(x - 1)(x - 17) = 0$
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = 17$
因为$x = 17$时，$10 - x = -7$，$8 - x = -9$，不符合实际意义，舍去。
所以分界带的宽度应为$1\ m$。
$1$
剩余部分的长为$(10 - x)\ m$，宽为$(8 - x)\ m$，根据题意可得：
$(10 - x)(8 - x) = 63$
展开得：$80 - 10x - 8x + x^2 = 63$
化简为：$x^2 - 18x + 17 = 0$
因式分解：$(x - 1)(x - 17) = 0$
解得：$x_1 = 1$，$x_2 = 17$
因为$x = 17$时，$10 - x = -7$，$8 - x = -9$，不符合实际意义，舍去。
所以分界带的宽度应为$1\ m$。
$1$
13. 请阅读下面解方程 $(x^2 + 1)^2 - 2(x^2 + 1) - 3 = 0$ 的过程。
解：设 $x^2 + 1 = y$,则原方程可变形为 $y^2 - 2y - 3 = 0$。
解得 $y_1 = 3$,$y_2 = -1$。
由于 $x^2 + 1 ＞ 0$,$y_2 = -1$ 不合题意,应舍去。
当 $y = 3$ 时,$x^2 + 1 = 3$,解得 $x = \pm\sqrt{2}$。
所以原方程的解为 $x_1 = \sqrt{2}$,$x_2 = -\sqrt{2}$。
我们将上述解方程的方法叫做换元法。
用换元法解方程：$(\frac{x}{x - 1})^2 - 2(\frac{x}{x - 1}) - 15 = 0$。
解：设 $x^2 + 1 = y$,则原方程可变形为 $y^2 - 2y - 3 = 0$。
解得 $y_1 = 3$,$y_2 = -1$。
由于 $x^2 + 1 ＞ 0$,$y_2 = -1$ 不合题意,应舍去。
当 $y = 3$ 时,$x^2 + 1 = 3$,解得 $x = \pm\sqrt{2}$。
所以原方程的解为 $x_1 = \sqrt{2}$,$x_2 = -\sqrt{2}$。
我们将上述解方程的方法叫做换元法。
用换元法解方程：$(\frac{x}{x - 1})^2 - 2(\frac{x}{x - 1}) - 15 = 0$。
答案
13.解:设$\frac{x}{x-1}=a$，则原方程可变形为$a^{2}-2a-15=0$.解得$a_{1}=-3,a_{2}=5$.当$a=-3$时，$\frac{x}{x-1}=-3$，解得$x=\frac{3}{4}$，经检验$x=\frac{3}{4}$是分式方程的解.当$a=5$时，$\frac{x}{x-1}=5$，解得$x=\frac{5}{4}$，经检验$x=\frac{5}{4}$是分式方程的解.所以原分式方程的解是$x_{1}=\frac{3}{4},x_{2}=\frac{5}{4}$.
14. 若方程 $x^2 + px + q = 0$ 可化成 $(x + \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$ 的形式,则 $pq = $
$-\frac{1}{2}$
。答案
14.$-\frac{1}{2}$
解析
将方程$(x + \frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$展开：$x^2 + x + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$，移项化简得：$x^2 + x - \frac{1}{2} = 0$，对比$x^2 + px + q = 0$，可得$p = 1$，$q = -\frac{1}{2}$，则$pq = 1×(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$。
$-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2}$
15. 若关于 $x$ 的方程 $2x^2 + k = 0$ 能用直接开平方来解,则 $k$ 的取值范围是
$k\leqslant 0$
。答案
15.$k\leqslant 0$
16. 如果二次三项式 $x^2 + 10x + 2m - 1$ 是一个完全平方式,那么 $m$ 的值为
13
。答案
16.13
解析
因为二次三项式$x^2 + 10x + 2m - 1$是完全平方式，而$x^2 + 10x = (x + 5)^2 - 25$，所以$x^2 + 10x + 2m - 1=(x + 5)^2 + (2m - 1 - 25)$。要使其为完全平方式，则常数项必须为$0$，即$2m - 1 - 25 = 0$，解得$2m = 26$，$m = 13$。
13
13
17. 将 4 个数 $a$,$b$,$c$,$d$ 排成 2 行、2 列,两边各加一条竖直线记成 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} $。定义 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$,上述记号就叫做 2 阶行列式。若 $\begin{vmatrix} x + 1 & x - 1 \\ 1 - x & 1 + x \end{vmatrix} = 6$,则 $x = $
$\pm \sqrt{2}$
。答案
17.$\pm \sqrt{2}$
解析
由题意得：$(x + 1)(1 + x) - (x - 1)(1 - x) = 6$
$\begin{aligned}(x + 1)^2 - (x - 1)(-(x - 1))&=6\\(x^2 + 2x + 1) + (x - 1)^2&=6\\x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1&=6\\2x^2 + 2&=6\\2x^2&=4\\x^2&=2\\x&=\pm \sqrt{2}\end{aligned}$
$\pm \sqrt{2}$
$\begin{aligned}(x + 1)^2 - (x - 1)(-(x - 1))&=6\\(x^2 + 2x + 1) + (x - 1)^2&=6\\x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1&=6\\2x^2 + 2&=6\\2x^2&=4\\x^2&=2\\x&=\pm \sqrt{2}\end{aligned}$
$\pm \sqrt{2}$
