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8. 已知三角形的两边长分别为 3 和 6,第三边的长是方程 $2x^2 - 15x + 18 = 0$ 的根,请你判断该三角形的形状,并求出这个三角形的周长。
答案
8.该三角形为等腰三角形，其周长为15.
解析
解方程$2x^2 - 15x + 18 = 0$，
$(2x - 3)(x - 6)=0$，
解得$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = 6$。
当第三边为$\frac{3}{2}$时，$3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} ＜ 6$，不满足三角形三边关系，舍去。
当第三边为$6$时，三角形三边长为$3$，$6$，$6$，满足三角形三边关系，该三角形为等腰三角形。
周长为$3 + 6 + 6 = 15$。
该三角形为等腰三角形，周长为15。
$(2x - 3)(x - 6)=0$，
解得$x_1 = \frac{3}{2}$，$x_2 = 6$。
当第三边为$\frac{3}{2}$时，$3 + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} ＜ 6$，不满足三角形三边关系，舍去。
当第三边为$6$时，三角形三边长为$3$，$6$，$6$，满足三角形三边关系，该三角形为等腰三角形。
周长为$3 + 6 + 6 = 15$。
该三角形为等腰三角形，周长为15。
9. 在函数 $y = \frac{1}{2}x^2 - x - 1$ 中,$x$ 取何值时,$y$ 的值为 $-1$？
答案
9.$x_{1}=0,x_{2}=2$
解析
解：令 $ y = -1 $，则$\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = -1$
$\frac{1}{2}x^2 - x = 0$
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 2$
$\frac{1}{2}x^2 - x = 0$
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
解得 $x_1 = 0$，$x_2 = 2$
10. 有一张桌面为长方形的桌子,桌面的长为 $2m$,宽为 $1m$。有一块长方形台布,它的面积是桌面面积的 3 倍,将台布铺在桌面上时,各边垂下的长度相等。求这块台布的长和宽。
答案
10.台布的长和宽分别为3 m和2 m.
解析
设各边垂下的长度为$x\ m$。
桌面面积为$2×1 = 2\ m^2$，台布面积为$3×2=6\ m^2$。
台布的长为$(2 + 2x)\ m$，宽为$(1 + 2x)\ m$，依题意得：
$(2 + 2x)(1 + 2x)=6$
展开得：$2 + 4x + 2x + 4x^2=6$
化简得：$4x^2 + 6x - 4=0$
即$2x^2 + 3x - 2=0$
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-2$（舍去）
台布长为$2 + 2×\frac{1}{2}=3\ m$，宽为$1 + 2×\frac{1}{2}=2\ m$
台布的长和宽分别为$3\ m$和$2\ m$。
桌面面积为$2×1 = 2\ m^2$，台布面积为$3×2=6\ m^2$。
台布的长为$(2 + 2x)\ m$，宽为$(1 + 2x)\ m$，依题意得：
$(2 + 2x)(1 + 2x)=6$
展开得：$2 + 4x + 2x + 4x^2=6$
化简得：$4x^2 + 6x - 4=0$
即$2x^2 + 3x - 2=0$
解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-2$（舍去）
台布长为$2 + 2×\frac{1}{2}=3\ m$，宽为$1 + 2×\frac{1}{2}=2\ m$
台布的长和宽分别为$3\ m$和$2\ m$。
11. 某养牛场的长方形牛舍一边靠墙,墙长 $25m$,另三边用木栏围成,现有材料可制作木栏 $40m$。
(1) 牛舍的面积能达到 $200m^2$ 吗？若能,请求出牛舍的长和宽；若不能,请说明理由。
(2) 能围成面积为 $250m^2$ 的牛舍吗？若能,请求出牛舍的长和宽；若不能,请说明理由。
(1) 牛舍的面积能达到 $200m^2$ 吗？若能,请求出牛舍的长和宽；若不能,请说明理由。
(2) 能围成面积为 $250m^2$ 的牛舍吗？若能,请求出牛舍的长和宽；若不能,请说明理由。
答案
$(1)$ 判断牛舍面积能否达到$200m^2$
设垂直于墙的一边长为$x$米，则平行于墙的一边长为$(40 - 2x)$米。
根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可得方程$x(40 - 2x)=200$。
- **化简方程：
展开方程得$40x-2x^{2}=200$，移项化为标准的一元二次方程形式$x^{2}-20x + 100 = 0$。
- **求解方程：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，在方程$x^{2}-20x + 100 = 0$中，$a = 1$，$b=-20$，$c = 100$，则$\Delta=b^{2}-4ac=(-20)^{2}-4×1×100=400 - 400=0$。
根据求根公式可得$x=\frac{20\pm\sqrt{0}}{2}=10$。
- **求长和宽：
当$x = 10$时，$40-2x=40-2×10 = 20$（米），且$20\lt25$，满足墙长的条件。
所以牛舍的面积能达到$200m^2$，此时牛舍的长为$20$米，宽为$10$米。
$(2)$ 判断牛舍面积能否达到$250m^2$
同样设垂直于墙的一边长为$x$米，则平行于墙的一边长为$(40 - 2x)$米，根据面积公式可得方程$x(40 - 2x)=250$。
- **化简方程：
展开方程得$40x-2x^{2}=250$，移项化为标准的一元二次方程形式$2x^{2}-40x + 250 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-20x + 125 = 0$。
- **判断方程根的情况：
对于一元二次方程$x^{2}-20x + 125 = 0$，其中$a = 1$，$b=-20$，$c = 125$，则$\Delta=b^{2}-4ac=(-20)^{2}-4×1×125=400 - 500=-100\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
所以不能围成面积为$250m^2$的牛舍。
综上，答案为：$(1)$ 能，长为$20$米，宽为$10$米；$(2)$ 不能，因为方程$x(40 - 2x)=250$无实数根。
设垂直于墙的一边长为$x$米，则平行于墙的一边长为$(40 - 2x)$米。
根据长方形面积公式$S = 长×宽$，可得方程$x(40 - 2x)=200$。
- **化简方程：
展开方程得$40x-2x^{2}=200$，移项化为标准的一元二次方程形式$x^{2}-20x + 100 = 0$。
- **求解方程：
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a\neq0$），其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，在方程$x^{2}-20x + 100 = 0$中，$a = 1$，$b=-20$，$c = 100$，则$\Delta=b^{2}-4ac=(-20)^{2}-4×1×100=400 - 400=0$。
根据求根公式可得$x=\frac{20\pm\sqrt{0}}{2}=10$。
- **求长和宽：
当$x = 10$时，$40-2x=40-2×10 = 20$（米），且$20\lt25$，满足墙长的条件。
所以牛舍的面积能达到$200m^2$，此时牛舍的长为$20$米，宽为$10$米。
$(2)$ 判断牛舍面积能否达到$250m^2$
同样设垂直于墙的一边长为$x$米，则平行于墙的一边长为$(40 - 2x)$米，根据面积公式可得方程$x(40 - 2x)=250$。
- **化简方程：
展开方程得$40x-2x^{2}=250$，移项化为标准的一元二次方程形式$2x^{2}-40x + 250 = 0$，两边同时除以$2$得$x^{2}-20x + 125 = 0$。
- **判断方程根的情况：
对于一元二次方程$x^{2}-20x + 125 = 0$，其中$a = 1$，$b=-20$，$c = 125$，则$\Delta=b^{2}-4ac=(-20)^{2}-4×1×125=400 - 500=-100\lt0$。
因为$\Delta\lt0$，所以此方程无实数根。
所以不能围成面积为$250m^2$的牛舍。
综上，答案为：$(1)$ 能，长为$20$米，宽为$10$米；$(2)$ 不能，因为方程$x(40 - 2x)=250$无实数根。
