12. (★) 已知函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图 22 - 4 所示,则关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx + c - 4 = 0 $ 的根的情况是 【】

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.有两个异号的实数根

A

由图象可知，函数 $y=ax^2+bx+c$ 的最大值为 4，即图象顶点的 $y$ 坐标为 4。关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c-4=0$，即 $y=4$ 时，对应的图象与直线 $y=4$ 的交点情况。由图象可知，函数 $y=ax^2+bx+c$ 在顶点处与 $y=4$ 相切，即方程 $ax^2+bx+c-4=0$ 有两个相等的实数根。

13. (★★) 若二次函数 $ y = x^2 + bx $ 的图象的对称轴是直线 $ x = 2 $,则关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + bx = 5 $ 的解为 【】
A.$ x_1 = 0 $,$ x_2 = 4 $
B.$ x_1 = 1 $,$ x_2 = 5 $
C.$ x_1 = 1 $,$ x_2 = -5 $
D.$ x_1 = -1 $,$ x_2 = 5 $

D

对于二次函数$y = ax^{2} + bx + c$，其对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，
已知二次函数$y = x^{2} + bx$的图象的对称轴是直线$x = 2$，
这里$a = 1$，
所以$-\frac{b}{2×1}= 2$，
解得$b = - 4$，
则原方程$x^{2} + bx = 5$可化为$x^{2} - 4x = 5$，
移项得$x^{2} - 4x - 5 = 0$，
分解因式得$(x - 5)(x + 1) = 0$，
则$x - 5 = 0$或$x + 1 = 0$，
解得$x_1 = - 1$，$x_2 = 5$。

14. (★★) 若抛物线经过点 $ A(2, 0) $ 和点 $ B(-1, 0) $,且与 $ y $ 轴交于点 $ C $,若 $ OC = 2 $,则这条抛物线的解析式是 【】
A.$ y = x^2 - x - 2 $
B.$ y = -x^2 - x - 2 $ 或 $ y = x^2 + x + 2 $
C.$ y = -x^2 + x + 2 $
D.$ y = x^2 - x - 2 $ 或 $ y = -x^2 + x + 2 $

D

已知抛物线经过点 $ A(2, 0) $ 和点 $ B(-1, 0) $，因此可设抛物线的解析式为 $ y = a(x - 2)(x + 1) $。
抛物线与 $ y $ 轴交于点 $ C $，即 $ x = 0 $，代入解析式得 $ y = a(-2)(1) = -2a $。
由题意 $ OC = 2 $，即 $ | -2a | = 2 $，解得 $ a = \pm 1 $。
当 $ a = 1 $ 时，解析式为 $ y = (x - 2)(x + 1) = x^2 - x - 2 $。
当 $ a = -1 $ 时，解析式为 $ y = - (x - 2)(x + 1) = -x^2 + x + 2 $。
因此，抛物线的解析式为 $ y = x^2 - x - 2 $ 或 $ y = -x^2 + x + 2 $。

15. (★★) 直线 $ y = x - 2 $ 与抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 相交于 $ A(2, m) $,$ B(n, 3) $ 两点,抛物线的对称轴是直线 $ x = 3 $,求抛物线的解析式。

答：
1.将$A(2,m)$代入$y = x - 2$得：
$m=2 - 2=0$。
将$B(n,3)$代入$y = x - 2$得：
$3=n - 2$，即$n = 5$。
所以$A(2,0)$，$B(5,3)$。
2.设抛物线解析式为$y = a(x - 3)^{2}+k$，
把$A(2,0)$，$B(5,3)$代入可得：
$\begin{cases}a(2 - 3)^{2}+k=0\\a(5 - 3)^{2}+k=3\end{cases}$
即$\begin{cases}a + k=0\\4a + k=3\end{cases}$
3.用$4a + k=3$减去$a + k=0$得：
$3a=3$，解得$a = 1$。
把$a = 1$代入$a + k=0$得$k=-1$。
4.所以抛物线解析式为$y=(x - 3)^{2}-1$，展开得$y=x^{2}-6x + 8$。
故抛物线的解析式为$y = x^{2}-6x + 8$。

16. (★) 与抛物线 $ y = -\frac{1}{2}x^2 + 3x - 5 $ 的形状、开口方向都相同,只有位置不同的抛物线是 【】
A.$ y = x^2 + 3x - 5 $
B.$ y = -\frac{1}{2}x^2 + \sqrt{2}x $
C.$ y = \frac{1}{2}x^2 + 3x - 5 $
D.$ y = \frac{1}{2}x^2 $

B

抛物线的形状和开口方向由二次项系数$a$决定。原抛物线的二次项系数为$a = -\frac{1}{2}$，因此只有选项中二次项系数同为$-\frac{1}{2}$的抛物线才满足条件。选项B的二次项系数为$-\frac{1}{2}$，与原抛物线相同，且常数项和一次项不同，表示位置不同。

17. (★★) $ A(2, y_1) $,$ B(3, y_2) $ 是二次函数 $ y = x^2 - 2x + 1 $ 图象上的两点,则 $ y_1 $ 与 $ y_2 $ 的大小关系为 $ y_1 \hspace{1em} $$ y_2 $。

$ ＜$

将点 $ A(2, y_1) $ 代入二次函数 $ y = x^2 - 2x + 1 $，得：
$y_1 = 2^2 - 2 × 2 + 1 = 4 - 4 + 1 = 1$，
将点 $ B(3, y_2) $ 代入二次函数 $ y = x^2 - 2x + 1 $，得：
$y_2 = 3^2 - 2 × 3 + 1 = 9 - 6 + 1 = 4$，
比较 $ y_1 $ 和 $ y_2 $ 的大小：
$y_1 = 1 ＜ y_2 = 4$。
由于二次函数 $ y = x^2 - 2x + 1 $ 的开口向上，对称轴为 $x = 1$，在对称轴右侧，$y$随$x$的增大而增大，
因为 $2＜3$，所以$y_1＜y_2$。

18. (★★) 图 22 - 5 为抛物线 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象,点 $ A $,$ B $,$ C $ 为抛物线与坐标轴的交点,且 $ OA = OC = 1 $,则下列关系正确的是 【】

A.$ a + b = -1 $
B.$ a - b = -1 $
C.$ b ＜ 2a $
D.$ ac ＜ 0 $

B

由题意，C为抛物线与y轴交点，坐标为(0,c)，OA=OC=1，故OC=|c|=1，得c=±1；A为抛物线与x轴交点，坐标为(±1,0)，OA=1。
假设抛物线开口向上（a＞0），与y轴交于正半轴（c=1），则C(0,1)。A为x轴负半轴交点（结合抛物线与x轴两交点位置），坐标为(-1,0)。
将A(-1,0)代入y=ax²+bx+c，得a(-1)²+b(-1)+c=0，即a - b + c=0。
因c=1，故a - b + 1=0，即a - b=-1。
选项A：a + b=-1，由a - b=-1得b=a+1，a + b=2a+1＞1（a＞0），错误；
选项B：a - b=-1，正确；
选项C：b= a + 1，b - 2a=1 - a，a与1大小不确定，b＜2a不一定成立，错误；
选项D：ac=a·1=a＞0，错误。