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19. (★★) 小明从如图 22 - 6 所示的二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象中,观察得出了下面五条信息：①$ a ＜ 0 $；②$ c ＞ 1 $；③$ b ＞ 0 $；④$ a + b + c ＞ 0 $；⑤$ a - b + c ＞ 0 $。你认为其中正确信息的个数是 【
A.2
B.3
C.4
D.5
C
】 A.2
B.3
C.4
D.5
答案
C
解析
①由抛物线开口向下，得a＜0，正确；②抛物线与y轴交于(0,c)，图中交点在(0,1)上方，则c＞1，正确；③对称轴在y轴右侧，即-b/(2a)＞0，a＜0，得b＞0，正确；④当x=1时，y=a+b+c，图中x=1时抛物线在x轴上方，故a+b+c＞0，正确；⑤当x=-1时，y=a-b+c，图中x=-1时抛物线在x轴下方，故a-b+c＞0错误。正确的有①②③④，共4个。
20. (★★) (2023·宁波模拟) 函数 $ y = ax^2 - a (a \neq 0) $ 与 $ y = ax + a $ 的图象大致是图 22 - 7 中的 【
C
】答案
C
解析
21. (★★) 根据下表中的二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的自变量 $ x $ 与函数 $ y $ 的对应值,可判断二次函数的图象与 $ x $ 轴 【
A.只有一个交点
B.有两个交点,且它们分别在 $ y $ 轴两侧
C.无交点
D.有两个交点,且它们均在 $ y $ 轴同侧
B
】A.只有一个交点
B.有两个交点,且它们分别在 $ y $ 轴两侧
C.无交点
D.有两个交点,且它们均在 $ y $ 轴同侧
答案
B
解析
由表格数据，x=0和x=2时y=-7/4，可知对称轴为x=(0+2)/2=1，顶点坐标(1,-2)。x=0时y=-7/4，得c=-7/4。将(1,-2)代入y=ax²+bx-7/4，结合对称轴x=-b/(2a)=1（即b=-2a），解得a=1/4＞0，抛物线开口向上。顶点(1,-2)在x轴下方，故与x轴有两个交点。由韦达定理，x1x2=c/a=(-7/4)/(1/4)=-7＜0，两根异号，即交点在y轴两侧。
22. (★★) (2023·衡阳) 已知 $ m ＞ n ＞ 0 $,若关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 2x - 3 - m = 0 $ 的解为 $ x_1 $,$ x_2 (x_1 ＜ x_2) $,关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + 2x - 3 - n = 0 $ 的解为 $ x_3 $,$ x_4 (x_3 ＜ x_4) $,则下列结论正确的是【
A.$ x_3 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ x_4 $
B.$ x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2 $
C.$ x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4 $
D.$ x_3 ＜ x_4 ＜ x_1 ＜ x_2 $
B
】A.$ x_3 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ x_4 $
B.$ x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2 $
C.$ x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4 $
D.$ x_3 ＜ x_4 ＜ x_1 ＜ x_2 $
答案
B
解析
两方程对应的二次函数为$y=x^2+2x-3-m$和$y=x^2+2x-3-n$，均为开口向上抛物线，对称轴均为$x=-1$。由求根公式，方程$x^2+2x-3-m=0$的解为$x_1=-1-\sqrt{m+4}$，$x_2=-1+\sqrt{m+4}$；方程$x^2+2x-3-n=0$的解为$x_3=-1-\sqrt{n+4}$，$x_4=-1+\sqrt{n+4}$。
因为$m＞n＞0$，所以$\sqrt{m+4}＞\sqrt{n+4}$，则$-1-\sqrt{m+4}＜-1-\sqrt{n+4}＜-1＜ -1+\sqrt{n+4}＜-1+\sqrt{m+4}$，即$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$。
因为$m＞n＞0$，所以$\sqrt{m+4}＞\sqrt{n+4}$，则$-1-\sqrt{m+4}＜-1-\sqrt{n+4}＜-1＜ -1+\sqrt{n+4}＜-1+\sqrt{m+4}$，即$x_1＜x_3＜x_4＜x_2$。
23. (★★) 如图 22 - 8,抛物线 $ y = ax^2 + bx + c (a \neq 0) $ 与 $ x $ 轴的两个交点分别为 $ A(-1, 0) $ 和 $ B(2, 0) $,当 $ y ＜ 0 $ 时,$ x $ 的取值范围是 $\hspace{1em}$
x＜-1或x＞2
。答案
x＜-1或x＞2
解析
因为抛物线与x轴交于A(-1,0)和B(2,0)，且抛物线开口向下（由图像可知），所以当y＜0时，x的取值范围是x＜-1或x＞2。
24. (★★) 不论 $ x $ 取何值,二次函数 $ y = -x^2 + 6x + c $ 的函数值总为负数,则实数 $ c $ 的取值范围为
$c\lt - 9$
。答案
$c\lt - 9$
解析
对于二次函数$y = -x^2 + 6x + c$，因为$a = -1 \lt 0$，函数图象开口向下，若函数值总为负数，则函数图象与$x$轴无交点，即对应的一元二次方程$-x^2 + 6x + c = 0$无实数根。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta = b^{2}-4ac$，在方程$-x^2 + 6x + c = 0$中，$a = -1$，$b = 6$，$c$为原函数中的$c$，则$\Delta = 6^{2}-4×(-1)× c\lt0$，
即$36 + 4c\lt0$，
$4c\lt - 36$，
解得$c\lt - 9$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$，其判别式$\Delta = b^{2}-4ac$，在方程$-x^2 + 6x + c = 0$中，$a = -1$，$b = 6$，$c$为原函数中的$c$，则$\Delta = 6^{2}-4×(-1)× c\lt0$，
即$36 + 4c\lt0$，
$4c\lt - 36$，
解得$c\lt - 9$。
25. (★★) 如图 22 - 9,已知 $ AB = 2 $,$ C $ 是线段 $ AB $ 上一动点($ C $ 与 $ A $,$ B $ 不重合),四边形 $ ACDE $ 和四边形 $ CBFG $ 都是正方形,设 $ BC = x $。
(1) 用含 $ x $ 的式子表示线段 $ AC $ 的长。
(2) 设正方形 $ ACDE $ 和正方形 $ CBFG $ 的总面积为 $ S $,试表示出 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.(写出自变量 $ x $ 的取值范围)
(3) (2) 中的总面积 $ S $ 有最大值还是最小值？这个最值是多少？此时点 $ C $ 在线段 $ AB $ 的什么位置？
(1) 用含 $ x $ 的式子表示线段 $ AC $ 的长。
(2) 设正方形 $ ACDE $ 和正方形 $ CBFG $ 的总面积为 $ S $,试表示出 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数关系式.(写出自变量 $ x $ 的取值范围)
(3) (2) 中的总面积 $ S $ 有最大值还是最小值？这个最值是多少？此时点 $ C $ 在线段 $ AB $ 的什么位置？
答案
(1) 因为 $AB=2$, $BC=x$,
所以 $AC=2-x$。
(2)
$S=(2-x)^2+x^2$
$=4-4x+x^2+x^2$
$=2x^2-4x+4 \quad (0＜x＜2)$
(3)
$S=2x^2-4x+4=2(x-1)^2+2$
当 $x=1$ 时，$S$ 有最小值 $2$，
此时 $C$ 在 $AB$ 中点。
所以 $AC=2-x$。
(2)
$S=(2-x)^2+x^2$
$=4-4x+x^2+x^2$
$=2x^2-4x+4 \quad (0＜x＜2)$
(3)
$S=2x^2-4x+4=2(x-1)^2+2$
当 $x=1$ 时，$S$ 有最小值 $2$，
此时 $C$ 在 $AB$ 中点。
