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16. (★★) 如图 27.2 - 62,$ M $ 是 $ \triangle ABC $ 内一点,过点 $ M $ 分别作直线平行于 $ \triangle ABC $ 的各边,所形成的三个小三角形 $ \triangle_1 $,$ \triangle_2 $,$ \triangle_3 $(图中阴影部分)的面积分别是 4,9 和 49,则 $ \triangle ABC $ 的面积是
144
。答案
144
解析
设△ABC的面积为S，三个小三角形△₁、△₂、△₃的面积分别为4、9、49，它们均与△ABC相似，相似比分别为k₁、k₂、k₃。由相似三角形面积比等于相似比的平方，得k₁=√(4/S)=2/√S，k₂=√(9/S)=3/√S，k₃=√(49/S)=7/√S。由于三个小三角形的相似比之和等于1（对应边之和等于△ABC的边长），即k₁+k₂+k₃=1，故(2+3+7)/√S=1，解得√S=12，S=144。
17. (★★) 如图 27.2 - 63,$ \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外接圆,圆心 $ O $ 在 $ AB $ 上,过点 $ B $ 作 $ \odot O $ 的切线交 $ AC $ 的延长线于点 $ D $。
(1) 求证：$ \triangle ABC \backsim \triangle BDC $；
(2) 若 $ AC = 8 $,$ BC = 6 $,求 $ \triangle BDC $ 的面积。
(1) 求证：$ \triangle ABC \backsim \triangle BDC $；
(2) 若 $ AC = 8 $,$ BC = 6 $,求 $ \triangle BDC $ 的面积。
答案
(1)
证明：
因为$BD$是$\odot O$的切线，所以$\angle CBD = \angle A$（弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）。
又因为$\angle CDB=\angle BCA$（公共角），
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABC\sim\triangle BDC$。
(2)
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
已知$AC = 8$，$BC = 6$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$。
由$\triangle ABC\sim\triangle BDC$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且$\frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{BC}{AC}\right)^{2}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8×6 = 24$。
$\frac{S_{\triangle BDC}}{24}=\left(\frac{6}{8}\right)^{2}=\frac{9}{16}$，则$S_{\triangle BDC}=\frac{24×9}{16}=\frac{27}{2}$。
综上，答案依次为：(1)证明过程如上述；(2)$\frac{27}{2}$。
证明：
因为$BD$是$\odot O$的切线，所以$\angle CBD = \angle A$（弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角）。
又因为$\angle CDB=\angle BCA$（公共角），
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABC\sim\triangle BDC$。
(2)
因为$AB$是$\odot O$的直径，所以$\angle ACB = 90^{\circ}$（直径所对的圆周角是直角）。
已知$AC = 8$，$BC = 6$，根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$。
由$\triangle ABC\sim\triangle BDC$，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，且$\frac{S_{\triangle BDC}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\frac{BC}{AC}\right)^{2}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}×8×6 = 24$。
$\frac{S_{\triangle BDC}}{24}=\left(\frac{6}{8}\right)^{2}=\frac{9}{16}$，则$S_{\triangle BDC}=\frac{24×9}{16}=\frac{27}{2}$。
综上，答案依次为：(1)证明过程如上述；(2)$\frac{27}{2}$。
18. (★★)(2023·安徽) 如图 27.2 - 64,点 $ E $ 在正方形 $ ABCD $ 的对角线 $ AC $ 上,$ EF \perp AB $ 于点 $ F $,连接 $ DE $ 并延长,交边 $ BC $ 于点 $ M $,交边 $ AB $ 的延长线于点 $ G $。若 $ AF = 2 $,$ FB = 1 $,则 $ MG $ 等于【
A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ \dfrac{3\sqrt{5}}{2} $
C.$ \sqrt{5} + 1 $
D.$ \sqrt{10} $
B
】A.$ 2\sqrt{3} $
B.$ \dfrac{3\sqrt{5}}{2} $
C.$ \sqrt{5} + 1 $
D.$ \sqrt{10} $
答案
B
解析
∵四边形ABCD是正方形，AF=2，FB=1，∴AB=AF+FB=3，即正方形边长为3。
∵EF⊥AB，AD⊥AB，∴EF//AD，故△ADG∽△FEG，相似比为AD/EF=AG/FG。
∵AC是正方形对角线，∠BAC=45°，EF⊥AB，∴△AEF为等腰直角三角形，EF=AF=2。
设FG=x，则AG=AF+FG=2+x，AD=3，EF=2，由相似比得3/2=(2+x)/x，解得x=4，即FG=4。
∴BG=FG-FB=4-1=3。
∵EF//BC，∴△EFG∽△MBG，相似比FG/BG=EF/BM，即4/3=2/BM，解得BM=3/2。
在Rt△MBG中，MG=√(BM²+BG²)=√[(3/2)²+3²]=√(9/4+9)=√(45/4)=3√5/2。
19. (★★★)(2022·遂宁) 如图 27.2 - 65,$ D $,$ E $,$ F $ 分别是 $ \triangle ABC $ 三边上的点,其中 $ BC = 8 $,$ BC $ 边上的高为 6,且 $ DE // BC $,则 $ \triangle DEF $ 面积的最大值为【
A.6
B.8
C.10
D.12
A
】A.6
B.8
C.10
D.12
答案
A
解析
设BC边上的高为AM=6，DE//BC，设△ADE与△ABC的相似比为k，则DE=BC·k=8k，△ADE的高为6k，DE与BC间的距离为6-6k。△DEF以DE为底，高为DE与BC间的距离6(1-k)，面积S=1/2×8k×6(1-k)=24k(1-k)。二次函数S=24(-k²+k)，对称轴k=1/2，最大值为24×(1/2)(1-1/2)=6。
