11. (★) 如图 27.2 - 58,在 $ \triangle ABC $ 中,$ DE // BC $,$ DE $ 分别与 $ AB $,$ AC $ 相交于点 $ D $,$ E $,若 $ AD:AB = 1:3 $,$ DE = 2 $,则 $ BC = $。

6

∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）。∵AD:AB=1:3，∴相似比为1:3。∵相似三角形对应边成比例，∴DE:BC=1:3。∵DE=2，∴2:BC=1:3，解得BC=6。

12. (★) 如果两个相似三角形的一组对应边分别为 $ 3 cm $ 和 $ 5 cm $,且较小三角形的周长为 $ 15 cm $,则较大三角形的周长为$ cm $。

$25$

设较大三角形的周长为 $x$ cm。
由于两个三角形相似，根据相似三角形的性质，它们的周长之比等于它们的相似比。
已知一组对应边分别为 $3$ cm 和 $5$ cm，所以相似比为 $\frac{3}{5}$。
因此，周长之比也为 $\frac{3}{5}$，即 $\frac{15}{x} = \frac{3}{5}$。
解这个方程，得到 $x = 25$。

13. (★★) 如图 27.2 - 59,在 $ □ ABCD $ 中,$ AB = 6 $,$ AD = 9 $,$ \angle BAD $ 的平分线交 $ BC $ 于点 $ E $,交 $ DC $ 的延长线于点 $ F $,$ BG \perp AE $ 于点 $ G $,$ BG = 4\sqrt{2} $,则 $ \triangle EFC $ 的周长为【】

A.11
B.10
C.9
D.8

D

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=9，AB=DC=6，AD//BC，AB//DF．
∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF．
∵AD//BC，∴∠DAF=∠AEB，∴∠BAF=∠AEB，∴△ABE为等腰三角形，AB=BE=6．
∴EC=BC-BE=9-6=3．
∵AB//DF，∴△ABE∽△FCE，相似比为BE:EC=6:3=2:1．
在Rt△ABG中，AB=6，BG=4√2，由勾股定理得AG=√(AB²-BG²)=√(36-32)=2，∴AE=2AG=4．
△ABE周长=AB+BE+AE=6+6+4=16．
∵△ABE∽△FCE，周长比=相似比=2:1，∴△EFC周长=16÷2=8．

14. (★★) 如图 27.2 - 60,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90° $,将 $ \triangle ABC $ 沿直线 $ MN $ 翻折后,顶点 $ C $ 恰好落在 $ AB $ 边上的点 $ D $ 处,已知 $ MN // AB $,$ MC = 6 $,$ NC = 2\sqrt{3} $,则四边形 $ MABN $ 的面积是。

18√3

连接CD交MN于O，翻折知MN垂直平分CD，CO=OD。MN//AB，故△CMN∽△CAB，相似比为CO/CD=1/2。
△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=2√3，面积S△CMN=6×2√3/2=6√3。
相似比1/2，面积比1/4，故S△ABC=4×6√3=24√3。
四边形MABN面积=S△ABC - S△CMN=24√3 - 6√3=18√3。

15. (★★) 如图 27.2 - 61,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $ 是边 $ AB $ 上一点,按以下步骤作图：①以点 $ A $ 为圆心,以适当长为半径作弧,分别交 $ AB $,$ AC $ 于点 $ M $,$ N $；②以点 $ D $ 为圆心,以 $ AM $ 长为半径作弧,交 $ DB $ 于点 $ M' $；③以点 $ M' $ 为圆心,以 $ MN $ 长为半径作弧,在 $ \angle BAC $ 内部交前面的弧于点 $ N' $；④过点 $ N' $ 作射线 $ DN' $ 交 $ BC $ 于点 $ E $。若 $ \triangle BDE $ 与四边形 $ ACED $ 的面积比为 $ 1:8 $,则 $ \dfrac{BE}{CE} $ 的值为____。

1/2

由作图步骤知∠ADE=∠BAC，故DE//AC，
∴△BDE∽△BAC。设S△BDE=S，
∵△BDE与四边形ACED面积比为1:8，
∴S△BAC=S+8S=9S，
∴S△BDE:S△BAC=1:9。相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴相似比BD/BA=√(1/9)=1/3，即BD=1/3BA，AD=BA-BD=2/3BA，
∴BD/AD=1/2。
∵DE//AC，由平行线分线段成比例定理得BE/CE=BD/AD=1/2。