17. ($\star\star\star$)如图24-14,在$\odot O$中,$B是\odot O$上的一点,$\angle ABC = 120^{\circ}$,弦$AC = 2\sqrt{3}$,弦$BM平分\angle ABC交AC于点D$,连接$MA$,$MC$。
(1)求$\odot O$半径的长；
(2)求证：$AB + BC = BM$。
]

(1)2；(2)见上述证明。

(1)连接OA、OC。
∵∠ABC=120°，∠ABC为圆周角，
∴劣弧AC所对圆周角为60°，劣弧AC度数为120°，
∴圆心角∠AOC=120°。
在△AOC中，OA=OC=r，AC=2√3，
由余弦定理：AC²=OA²+OC²-2OA·OC·cos∠AOC，
即(2√3)²=r²+r²-2r²cos120°，
12=2r²-2r²(-1/2)=3r²，
解得r²=4，r=2。
(2)在BM上截取BE=BC，连接CE。
∵BM平分∠ABC，∠ABC=120°，
∴∠CBE=60°，又BE=BC，
∴△BCE为等边三角形，BC=CE，∠BCE=60°。
∵A、B、C、M在⊙O上，劣弧AC=120°，
∴∠AMC=60°，又弧AM=弧CM（∠ABM=∠CBM），
∴AM=CM，△AMC为等边三角形，AC=CM，∠ACM=60°。
∴∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠ECM=60°，∠ACB=∠MCE。
在△ABC和△MEC中，
BC=EC，∠ACB=∠MCE，AC=MC，
∴△ABC≌△MEC（SAS），AB=ME。
∵BM=BE+ME，BE=BC，ME=AB，
∴BM=BC+AB，即AB+BC=BM。

18. ($\star\star$)(2021·临沂)如图24-15,已知在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CD}$,$OC与AD相交于点E$。
求证：(1)$AD// BC$；
(2)四边形$BCDE$为菱形。
]

(1)设$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\alpha$，
$\because\angle DAC$是$\overset{\frown}{CD}$所对圆周角，$\therefore\angle DAC=\frac{1}{2}\alpha$，
$\because\angle BCA$是$\overset{\frown}{AB}$所对圆周角，$\therefore\angle BCA=\frac{1}{2}\alpha$，
$\therefore\angle DAC=\angle BCA$，$\therefore AD// BC$。
(2)$\because AD// BC$，即$ED// BC$，
$\because\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore BC=CD$，
$\because ED// BC$，$\therefore\angle DEC=\angle ECB$，
$\because\angle ECB=\frac{1}{2}\alpha$，$\overset{\frown}{BD}=2\alpha$，$\angle BCD=\frac{1}{2}×2\alpha=\alpha$，
$\angle DCE=\angle BCD-\angle ECB=\alpha-\frac{1}{2}\alpha=\frac{1}{2}\alpha$，
$\therefore\angle DEC=\angle DCE$，$\therefore DE=DC$，
$\because DC=BC$，$\therefore DE=BC$，
$\therefore$四边形$BCDE$是平行四边形，
又$\because BC=CD$，$\therefore$四边形$BCDE$为菱形。

1. (★) 在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 8$,$BC = 3\sqrt{5}$,点 $P$ 在边 $AB$ 上,且 $BP = 3AP$,如果 $\odot P$ 是以点 $P$ 为圆心,$PD$ 长为半径的圆,那么下列判断正确的是【】
A.点 $B$,$C$ 均在 $\odot P$ 外
B.点 $B$ 在 $\odot P$ 外,点 $C$ 在 $\odot P$ 内
C.点 $B$ 在 $\odot P$ 内,点 $C$ 在 $\odot P$ 外
D.点 $B$,$C$ 均在 $\odot P$ 内

C

1. 已知矩形 $ABCD$ 中 $AB = 8$，$BC = 3\sqrt{5}$，点 $P$ 在边 $AB$ 上且 $BP = 3AP$，因此 $AP = 2$，$BP = 6$。
2. 计算 $PD$ 的长度：在直角三角形 $PAD$ 中，$PD = \sqrt{AP^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + (3\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 45} = 7$，因此 $\odot P$ 的半径为 $7$。
3. 判断点 $B$ 与 $\odot P$ 的位置关系：点 $B$ 到点 $P$ 的距离为 $BP = 6$，小于半径 $7$，因此点 $B$ 在 $\odot P$ 内。
4. 计算点 $C$ 到点 $P$ 的距离：在直角三角形 $PBC$ 中，$PC = \sqrt{BP^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{5})^2} = \sqrt{36 + 45} = 9$，大于半径 $7$，因此点 $C$ 在 $\odot P$ 外。

2. (★) 已知 $\odot O$ 的直径是 $12$,直线 $l$ 上有一点 $P$ 到点 $O$ 的距离为 $6$,则直线 $l$ 与 $\odot O$ 的位置关系为【】
A.相离
B.相切
C.相交
D.相切或相交

D

已知⊙O的直径为12，则半径r=6。点P在直线l上，且点P到圆心O的距离为6，说明圆心O到直线l的最短距离（即垂线距离）d满足d ≤ 6（因为点P到O的距离为垂线段或更长，但垂线段是最短距离）。
若d = 6，则直线l与⊙O相切；
若d ＜ 6，则直线l与⊙O相交。
因此，直线l与⊙O的位置关系为相切或相交。