11. ($\star\star$)(2023·洛阳模拟)如图24-9,在平面直角坐标系中,一条圆弧经过网格点$A$,$B$,$C$,其中点$B的坐标为(2,3)$,则该圆弧所在圆的圆心坐标为。
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(1,1)

连接AB、BC，作AB、BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为圆心。由网格点可得A(0,3)，B(2,3)，C(3,0)。AB中点为(1,3)，AB垂直平分线为x=1；BC中点为(2.5,1.5)，BC斜率为(0-3)/(3-2)=-3，其垂直平分线斜率为1/3，方程为y-1.5=(1/3)(x-2.5)，当x=1时，y=1.5+(1/3)(-1.5)=1.5-0.5=1，故圆心坐标为(1,1)。

12. ($\star$)如图24-10,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$\angle B = 25^{\circ}$,以$C$为圆心,$CA为半径的圆交AB于点D$,则$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角的度数为。
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50$^{\circ}$

1. 在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90°$，$\angle B = 25°$，则$\angle BAC = 90° - 25° = 65°$。
2. 以$C$为圆心，$CA$为半径作圆，交$AB$于点$D$，则$CA = CD$，$\triangle CAD$是等腰三角形。
3. $\angle CAD = \angle CDA = 65°$（因为$\angle BAC = 65°$，且$\angle CAD$与$\angle BAC$重合）。
4. $\angle ACD = 180° - 2 × 65° = 50°$。
5. $\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角为$\angle ACD = 50°$。

13. ($\star$)如图24-11,$AB是\odot O$的直径,点$C$,$D在\odot O$上,$\angle BOC = 110^{\circ}$,$AD// OC$,则$\angle AOD$的度数为______。

40°

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=180°。
∵∠BOC=110°，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=180°-110°=70°。
∵AD//OC，
∴∠DAO=∠AOC=70°（两直线平行，内错角相等）。
∵OA=OD（⊙O的半径），
∴△OAD是等腰三角形，∠ODA=∠DAO=70°。
在△OAD中，∠AOD=180°-∠DAO-∠ODA=180°-70°-70°=40°。

14. ($\star\star$)四边形$ABCD内接于\odot O$,$BC是\odot O$的直径,若$\angle ADC = 120^{\circ}$,则$\angle ACB$的度数为。

30°

∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC=120°，∴∠ABC=180°-120°=60°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=90°-∠ABC=90°-60°=30°

15. ($\star\star$)如图24-12,四边形$ABCD内接于\odot O$,$\angle DAB = 130^{\circ}$,连接$OC$,点$P是半径OC$上任意一点,连接$DP$,$BP$,则$\angle BPD$可能为______度。(写出一个即可)

70

连接OB、OD。四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB=130°，则∠BCD=180°-∠DAB=50°（圆内接四边形对角互补）。∠BCD为圆周角，所对弧为弧BAD，其圆心角∠BOD=2∠BCD=100°。点P在OC上，当P与O重合时，∠BPD=∠BOD=100°；当P与C重合时，∠BPD=∠BCD=50°。故∠BPD取值范围为50°≤∠BPD≤100°，可能为70°（答案不唯一）。

16. ($\star\star\star$)已知$AB为\odot O$的直径,$AC为\odot O$的弦,$D为\odot O上异于A$,$C$的一点。
(1)如图24-13①,若$\angle BAC = 40^{\circ}$,则$\angle ADC$的度数为。
(2)如图24-13②,若$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{CD}$,$\angle ADC = 130^{\circ}$,则$\angle DAB$的度数为。
(3)如图24-13③,若$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{CD}$,$DE\perp AC于点E$,且$DE = 2$,$AC = 6$,则$AB$的长为。
(4)如图24-13④,若$OD// BC$,求证：$AD = CD$。
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(1)50°
(2)15°
(3)$\frac{13}{2}$
(4)证明：∵OD//BC，∴∠AOD=∠ABC，∠COD=∠BCD。
∵OB=OC，∴∠ABC=∠BCD。
∴∠AOD=∠COD。
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CD}$。
∴AD=CD。