9. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle C = 29^{\circ}$,$D为AC$上一点,且$AB = AD$,$DB = DC$。求$\angle A$的度数。
]

因为BD=DC,∠C=29°,所以∠DBC=∠C=29°,所以∠ADB=2∠C=58°。又因为AD=DB,所以∠A=180° - 2∠ADB=64°。

因为 $DB = DC$，$\angle C = 29°$，所以 $\angle DBC = \angle C = 29°$，所以 $\angle ADB = \angle DBC + \angle C = 29° + 29° = 58°$。又因为 $AB = AD$，所以 $\angle ABD = \angle ADB = 58°$，所以 $\angle A = 180° - \angle ABD - \angle ADB = 180° - 58° - 58° = 64°$。

10. 如图,已知$AB = AC$,$\angle B= \angle C$,则$BD = CD$。请说明理由。
]

连结BC。由AB=AC,得∠ABC=∠ACB。又因为∠ABD=∠ACD,所以∠DBC=∠DCB。所以BD=CD。

连结BC。
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB。
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACD，即∠DBC=∠DCB。
∴BD=CD。

11. 一个等腰三角形的底边长为5,一条腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3,则这个等腰三角形的腰长为()。
A.$2$
B.$8$
C.$2或8$
D.$10$

B

设等腰三角形的腰长为$x$，腰上的中线长为$d$。
情况一：$(x+\frac{x}{2}) - (\frac{x}{2}+5) = 3$
$\frac{3x}{2} - \frac{x}{2} - 5 = 3$
$x - 5 = 3$
$x = 8$
情况二：$(\frac{x}{2}+5) - (x+\frac{x}{2}) = 3$
$\frac{x}{2}+5 - \frac{3x}{2} = 3$
$-x + 5 = 3$
$x = 2$
当$x=2$时，三边长为$2$，$2$，$5$，$2+2=4\lt5$，不满足三角形三边关系，舍去。
当$x=8$时，三边长为$8$，$8$，$5$，$8+5\gt8$，满足三角形三边关系。
故腰长为$8$。
B

12. 已知两条线段的长为$3cm和4cm$,当第三条线段的长为 $cm$时,这三条线段就能组成一个直角三角形。

5或$\sqrt{7}$

当第三条线段为斜边时，长度为$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$；当第三条线段为直角边时，长度为$\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$。
5或$\sqrt{7}$

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = CB$,$\angle ABC = 90^{\circ}$。$F为AB$延长线上一点,点$E在BC$上,且$BE = BF$。
(1) 求证：$\triangle ABE\cong\triangle CBF$。
(2) 若$\angle CAE = 30^{\circ}$,求$\angle ACF$的度数。
]

（1）由BE=BF,∠CBF=∠ABE=90°,AB=CB,得△ABE≌△CBF(SAS)。（2）由AB=BC,∠ABC=90°,得∠CAB=∠ACB=45°,所以∠BAE=∠CAB - ∠CAE=15°,所以∠BCF=∠BAE=15°,所以∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°。

(1) 证明：因为 $\angle ABC = 90^{\circ}$，$F$ 为 $AB$ 延长线上一点，所以 $\angle CBF = 180^{\circ} - \angle ABC = 90^{\circ}$，即 $\angle ABE = \angle CBF = 90^{\circ}$。在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle CBF$ 中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CB\\\angle ABE = \angle CBF\\BE = BF\end{array}\right.$，所以 $\triangle ABE \cong \triangle CBF(SAS)$。
(2) 因为 $AB = CB$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，所以 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形，因此 $\angle CAB = \angle ACB = 45^{\circ}$。因为 $\angle CAE = 30^{\circ}$，所以 $\angle BAE = \angle CAB - \angle CAE = 45^{\circ} - 30^{\circ} = 15^{\circ}$。由
(1) 知 $\triangle ABE \cong \triangle CBF$，所以 $\angle BCF = \angle BAE = 15^{\circ}$，则 $\angle ACF = \angle ACB + \angle BCF = 45^{\circ} + 15^{\circ} = 60^{\circ}$。