14. 如图,直角三角形纸片的两直角边$AC = 6cm$,$BC = 8cm$。现将直角边$AC沿AD$折叠,使它落在斜边$AB$上,点$C与点E$重合。求$CD$的长。
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由已知得AB=10cm,∠AED=∠C=Rt∠,AE=AC=6cm,DE=DC,则BE=4cm。在Rt△BED中,$BE^{2}+DE^{2}=BD^{2}$,即$4^{2}+CD^{2}=(8 - CD)^{2}$,解得CD=3cm。

在直角三角形$ABC$中，$AC = 6\,cm$，$BC = 8\,cm$，根据勾股定理可得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}} = 10\,cm$。
由折叠性质知，$\angle AED=\angle C = 90^{\circ}$，$AE=AC = 6\,cm$，$DE = DC$。
所以$BE=AB - AE=10 - 6=4\,cm$，设$CD = DE=x\,cm$，则$BD=BC - CD=(8 - x)\,cm$。
在$Rt\triangle BED$中，由勾股定理得$BE^{2}+DE^{2}=BD^{2}$，即$4^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2}$。
展开得$16+x^{2}=64 - 16x+x^{2}$，移项化简得$16x=48$，解得$x = 3$。
故$CD$的长为$3\,cm$。

15. 已知：如图,$AC$,$BD交于点O$,$\angle A= \angle D = 90^{\circ}$,$AC = BD$。求证：$OB = OC$。
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连结BC。可证Rt△ABC≌Rt△DCB,所以∠ACB=∠DBC,从而OB=OC。

证明：连结$BC$。
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DCB$中，
$\begin{cases}AC = BD \\BC = CB\end{cases}$
所以$Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DCB$（HL）。
因此$\angle ACB = \angle DBC$。
所以$OB = OC$。

16. 已知：如图,在$\triangle ABC$中,$BF\perp AC于点F$,$CG\perp AB于点G$,$D是BC$的中点,$DE\perp FG于点E$。求证：$GE = EF$。
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连结DG,DF。由CG⊥AB,D是BC的中点,得$DG=\frac{1}{2}BC$。同理,$DF=\frac{1}{2}BC$。所以DG=DF。而DE⊥FG,所以GE=EF。

证明：连结DG,DF。
∵CG⊥AB，D是BC的中点，
∴DG=$\frac{1}{2}BC$。
同理，DF=$\frac{1}{2}BC$。
∴DG=DF。
∵DE⊥FG，
∴GE=EF。

17. 已知：如图,在$\triangle ABC$中,$AD是BC$边上的中线,$F是AD$上一点,延长$BF$,交$AC于点E$,且$AE = EF$。求证：$BF = AC$。
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如图,延长FD到G,使DG=DF,连结CG。因为AD是BC边的中线,所以BD=CD。又因为∠FDB=∠GDC,所以△BDF≌△CDG(SAS),所以BF=CG,∠BFD=∠G。因为AE=EF,所以∠EAF=∠EFA=∠BFD,所以∠G=∠CAG,所以AC=CG,所以BF=AC。