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8. 如图，等边三角形$ABC$被一平行于$BC$的矩形所截，$AB$被截成三等份，则图中阴影部分的面积是$△ ABC$的面积的
$\frac{1}{3}$
.答案
8. $\frac{1}{3}$
解析
证明：设等边三角形$ABC$的面积为$S$，边长为$3a$。
因为$AB$被截成三等份，且矩形的对边平行于$BC$，所以$EH// FG// BC$。
根据相似三角形的性质，$△ AEH∼△ AFG∼△ ABC$，相似比分别为$\frac{1}{3}$和$\frac{2}{3}$。
则$S_{△ AEH}=(\frac{1}{3})^2S=\frac{1}{9}S$，$S_{△ AFG}=(\frac{2}{3})^2S=\frac{4}{9}S$。
阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ AFG}-S_{△ AEH}=\frac{4}{9}S - \frac{1}{9}S=\frac{3}{9}S=\frac{1}{3}S$。
故阴影部分的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{3}$。
$\frac{1}{3}$
因为$AB$被截成三等份，且矩形的对边平行于$BC$，所以$EH// FG// BC$。
根据相似三角形的性质，$△ AEH∼△ AFG∼△ ABC$，相似比分别为$\frac{1}{3}$和$\frac{2}{3}$。
则$S_{△ AEH}=(\frac{1}{3})^2S=\frac{1}{9}S$，$S_{△ AFG}=(\frac{2}{3})^2S=\frac{4}{9}S$。
阴影部分面积$S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ AFG}-S_{△ AEH}=\frac{4}{9}S - \frac{1}{9}S=\frac{3}{9}S=\frac{1}{3}S$。
故阴影部分的面积是$△ ABC$面积的$\frac{1}{3}$。
$\frac{1}{3}$
9. (2024·姑苏区期末)如图，在四边形$ABCD$中，点$E$在边$AD$上，若$AB// EC$，$CD// BE$，且$AE = 3DE$.记$△ ABE$的面积为$S_1$，$△ BCE$的面积为$S_2$，$△ CDE$的面积为$S_3$，则$\frac{S_1 + S_3}{2S_2}=$
$\frac{5}{3}$
.答案
9. $\frac{5}{3}$
10. (2024·海陵区期末)如图，在$□ ABCD$中，$M$为边$AD$的中点.
(1)试仅用一把无刻度的直尺确定边$CD$的中点$N$；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)将(1)中的点$N$与点$M$相连，若$△ DMN$的面积为$8$，求$□ ABCD$的面积.
(1)试仅用一把无刻度的直尺确定边$CD$的中点$N$；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)将(1)中的点$N$与点$M$相连，若$△ DMN$的面积为$8$，求$□ ABCD$的面积.
答案
10. 解：(1) 如答图，点 $ N $ 即为所求。
(2) 连接 $ MN $，如答图，
∵AM = DM，DN = CN，
∴MN//AC，AC = 2MN，
∴△DMN∽△DAC，
∴$\frac{S_{△ DMN}}{S_{△ DAC}} = ( \frac{MN}{AC} )^2 = \frac{1}{4}$，
∴$S_{△ DAC} = 4 × 8 = 32$，
∴$S_{□ ABCD} = 2S_{△ DAC} = 64$。
11. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$，$F$分别在边$AB$，$AC$，$BC$上，连接$DE$，$EF$.已知四边形$BFED$是平行四边形，$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{4}$.
(1)若$AB = 8$，求线段$AD$的长；
(2)若$△ ADE$的面积为$1$，求平行四边形$BFED$的面积.
(1)若$AB = 8$，求线段$AD$的长；
(2)若$△ ADE$的面积为$1$，求平行四边形$BFED$的面积.
答案
11. 解：(1)
∵四边形 $ BFED $ 是平行四边形，
∴DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} = \frac{1}{4}$。
∵AB = 8，
∴AD = 2。
(2)
∵△ADE∽△ABC，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = ( \frac{DE}{BC} )^2 = ( \frac{1}{4} )^2 = \frac{1}{16}$。
∵△ADE的面积为 1，
∴△ABC的面积是 16。
∵四边形 $ BFED $ 是平行四边形，
∴DE = BF，EF//AB，
∴△EFC∽△ABC。
∵$\frac{DE}{BC} = \frac{1}{4}$，BC = BF + CF = DE + CF，
∴$\frac{CF}{BC} = \frac{3}{4}$，
∴$\frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}} = ( \frac{3}{4} )^2 = \frac{9}{16}$，
∴$S_{△ EFC} = 9$，
∴$S_{□ BFED} = S_{△ ABC} - S_{△ EFC} - S_{△ ADE} = 16 - 9 - 1 = 6$。
∵四边形 $ BFED $ 是平行四边形，
∴DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} = \frac{1}{4}$。
∵AB = 8，
∴AD = 2。
(2)
∵△ADE∽△ABC，
∴$\frac{S_{△ ADE}}{S_{△ ABC}} = ( \frac{DE}{BC} )^2 = ( \frac{1}{4} )^2 = \frac{1}{16}$。
∵△ADE的面积为 1，
∴△ABC的面积是 16。
∵四边形 $ BFED $ 是平行四边形，
∴DE = BF，EF//AB，
∴△EFC∽△ABC。
∵$\frac{DE}{BC} = \frac{1}{4}$，BC = BF + CF = DE + CF，
∴$\frac{CF}{BC} = \frac{3}{4}$，
∴$\frac{S_{△ EFC}}{S_{△ ABC}} = ( \frac{3}{4} )^2 = \frac{9}{16}$，
∴$S_{△ EFC} = 9$，
∴$S_{□ BFED} = S_{△ ABC} - S_{△ EFC} - S_{△ ADE} = 16 - 9 - 1 = 6$。
12. 如图，$△ ABC$和$△ DEC$的面积相等，点$E$在边$BC$上，$DE// AB$交$AC$于点$F$，$AB = 12$，$EF = 9$，求$DF$的长.
答案
12. 解：
∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形 $ AFEB $ 的面积相等。
∵AB//DE，
∴△CEF∽△CBA。
∵EF = 9，AB = 12，
∴EF:AB = 9:12 = 3:4，
∴$S_{△ CEF}:S_{△ CBA} = 9:16$。
设△CEF的面积为 9k，则△CBA的面积为 16k，故四边形 $ AFEB $ 的面积为 7k。
∵△CDF与四边形 $ AFEB $ 的面积相等，
∴$S_{△ CDF} = 7k$。
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴$S_{△ CDF}:S_{△ CEF} = DF:EF$，
∴DF:EF = 7k:9k = 7:9。
∵EF = 9，
∴DF = 7。
∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形 $ AFEB $ 的面积相等。
∵AB//DE，
∴△CEF∽△CBA。
∵EF = 9，AB = 12，
∴EF:AB = 9:12 = 3:4，
∴$S_{△ CEF}:S_{△ CBA} = 9:16$。
设△CEF的面积为 9k，则△CBA的面积为 16k，故四边形 $ AFEB $ 的面积为 7k。
∵△CDF与四边形 $ AFEB $ 的面积相等，
∴$S_{△ CDF} = 7k$。
∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，
∴$S_{△ CDF}:S_{△ CEF} = DF:EF$，
∴DF:EF = 7k:9k = 7:9。
∵EF = 9，
∴DF = 7。
