典例 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$D$是$AC$上一点,$DE⊥ AB$于点$E$,且$DE=DC$.
(1)求证:$BD$平分$∠ ABC$;
(2)若$∠ A=36°$,求$∠ DBC$的度数.

(1) 证明
∵DC⊥BC,DE⊥AB,DE=DC,
∴点D在∠ABC的平分线上,
∴BD平分∠ABC.
(2) 解 $\because ∠ C=90°,∠ A=36°,$
$\therefore ∠ ABC=54°.$
$\because BD$ 平分 $∠ ABC,$
$\therefore ∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=27°.$

【分析】
第(1)问：要证明BD平分∠ABC，可利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。已知∠C=90°可得DC⊥BC，结合DE⊥AB、DE=DC的条件，可知点D到∠ABC的两边BC、AB的距离相等，即可推出点D在∠ABC的平分线上，进而得到BD平分∠ABC。
第(2)问：先在Rt△ABC中利用直角三角形两锐角互余的性质算出∠ABC的度数，再结合第(1)问得到的BD是角平分线的结论，∠DBC为∠ABC的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵$∠ C=90°$，
∴$DC⊥ BC$，
又
∵$DE⊥ AB$，$DE=DC$，
∴点D在$∠ ABC$的平分线上，
∴$BD$平分$∠ ABC$。
(2) 解：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=36°$，
∴$∠ ABC=90°-∠ A=90°-36°=54°$，
由(1)可知$BD$平分$∠ ABC$，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×54°=27°$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $27°$
【知识点】
角平分线的判定；直角三角形两锐角互余；角平分线的定义
【点评】
本题是角平分线相关的基础应用题，核心是熟练运用角平分线的判定定理，结合直角三角形的角度计算规律解题，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

典例解析
典例
(1)证明 ∵DC⊥BC,DE⊥AB,DE=DC,
∴点D在∠ABC的平分线上,
∴BD平分∠ABC.
规律方法 要证明某条线段是一个角的平分线,只需证明从这条线段上的一点向角的两边所作的垂线段相等即可.将问题转化为“证明线段相等”,体现了转化思想.
举一反三 如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.求证:AD平分∠BAC.

证明 $\because DE⊥AB,DF⊥AC,$
∴在 $\mathrm{Rt}△BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△CDF$ 中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BDE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL}),$
$\therefore DE=DF.$
$\because DE⊥AB,DF⊥AC,$
$\therefore AD$ 平分$∠BAC.$

【分析】
要证明AD平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需要证明点D到∠BAC两边AB、AC的垂线段DE=DF即可。要得到DE=DF，可先证明DE、DF所在的直角三角形全等：已知D是BC中点，可得BD=CD；又DE⊥AB、DF⊥AC，说明△BDE和△CDF都是直角三角形，结合已知BE=CF，可通过HL定理证明两个直角三角形全等，从而得到DE=DF，最终推导得出AD平分∠BAC。
【解析】
证明：$\because DE⊥AB,DF⊥AC,$
∴$△ BDE$和$△ CDF$都是直角三角形，
$\because D$是$BC$的中点，
$\therefore BD=CD$，
在 $\mathrm{Rt}△BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△CDF$ 中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BDE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL}),$
$\therefore DE=DF.$
$\because DE⊥AB,DF⊥AC,$
$\therefore AD$ 平分$∠BAC.$
【答案】
证明：$\because DE⊥AB,DF⊥AC,$
∴在 $\mathrm{Rt}△BDE$ 和 $\mathrm{Rt}△CDF$ 中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△BDE≌\mathrm{Rt}△CDF(\mathrm{HL}),$
$\therefore DE=DF.$
$\because DE⊥AB,DF⊥AC,$
$\therefore AD$ 平分$∠BAC.$
【知识点】
HL判定直角三角形全等；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是角平分线判定的典型应用，解题时将“证明角平分线”的问题转化为“证明垂线段相等”，再通过全等三角形的判定与性质得到对应结论，体现了转化的数学思想，同时考查了对直角三角形全等判定定理的掌握。
【难度系数】
0.8