1.如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，能说明$∠ AOC=∠ BOC$的依据是().


A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.AAS

1. C

【分析】
要判断∠AOC=∠BOC的依据，首先回忆角平分线的尺规作图步骤得到的相等边：①以O为圆心画弧可得ON=OM；②分别以M、N为圆心画弧可得NC=MC；③OC是两个三角形的公共边。由此可得△ONC和△OMC三边对应相等，结合全等三角形判定定理即可推出两三角形全等，进而得到对应角相等，确定对应的判定依据。
【解析】
由尺规作角平分线的步骤可知：
$ON=OM$，$NC=MC$，
又$\because OC=OC$（公共边），
$\therefore △ ONC ≌ △ OMC \ (\mathrm{SSS})$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC$，
因此依据是SSS，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的尺规作图；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题考查尺规作角平分线的原理，解题关键是明确作图步骤中得到的相等线段，结合全等三角形的判定定理分析即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8

2.如图，OP平分$∠ MON$，$PA⊥ ON$于点A，点Q是射线OM上一个动点，若$PA=3$，则PQ的最小值为（）.


A.1
B.2
C.3
D.4

2. C

【分析】
要找到PQ的最小值，首先根据“垂线段最短”的性质，可知当PQ垂直于OM时，PQ的长度最小；再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知PA是点P到ON的距离，那么点P到OM的最短距离PQ就等于PA的长度，即可求出结果。
【解析】
解：过点P作PQ⊥OM于点Q，此时PQ的长度为最小值（直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短）。
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴根据角平分线的性质可得：PQ=PA，
又
∵PA=3，
∴PQ的最小值为3。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题属于基础应用题，解题的关键是先判断出PQ取最小值的位置，再结合角平分线的性质进行计算即可。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$DE⊥ AB$于点$E$，$△ ABC$的面积为7，$AB=4$，$DE=2$，则$AC$的长是。

3. 3

【分析】
解题时首先观察题干条件：AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，可联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可得到点D到AC边的距离等于DE的长度。再结合△ABC的面积等于△ABD与△ACD的面积之和，分别表示出两个小三角形的面积，代入已知条件即可求出AC的长度。
【解析】
过点D作DF⊥AC于点F。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴根据角平分线的性质可得DF=DE=2。
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$，
其中$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE=\frac{1}{2}×4×2=4$，
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF=\frac{1}{2}×AC×2=AC$，
已知$S_{△ABC}=7$，代入得：
$4+AC=7$，
解得$AC=3$。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；面积和差法
【点评】
本题是角平分线性质与三角形面积结合的典型题型，解题关键是利用角平分线的性质得到AC边上的高，再通过面积和建立等量关系求解，熟练掌握相关性质和面积法的应用可以快速解决此类问题。
【难度系数】
0.7

4.我们把两组邻边相等的四边形叫作“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证OE=OF.

4. 证明 在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases} AB=CB,\\ AD=CD,\\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC.
∵OE⊥AB,OF⊥CB，
∴OE=OF.

【分析】
要证明OE=OF，观察到OE、OF分别是点O到∠ABC两边的垂线段，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，只需先证明BD平分∠ABC即可。要证BD平分∠ABC，可证明△ABD和△CBD全等：题目已给出AB=CB、AD=CD，加上BD是两个三角形的公共边，满足SSS全等判定条件，可证得两三角形全等，进而得到对应角∠ABD=∠CBD，即BD为∠ABC的角平分线，最终推出OE=OF。
【解析】
证明：在△ABD和△CBD中，
$\begin{cases} AB=CB,\\ AD=CD,\\ BD=BD, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC.
∵OE⊥AB,OF⊥CB，
∴OE=OF.
【答案】
证明过程如上所述，可证得OE=OF。
【知识点】
SSS判定三角形全等；全等三角形的性质；角平分线的性质
【点评】
本题结合新定义“筝形”考查基础几何证明，解题逻辑清晰，核心是先通过全等证明得到角平分线，再利用角平分线的性质得到线段相等，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8

5.如图，直线$l,l',l''$分别表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求加油站到这三条公路的距离相等，则可供选择的地址有().


A.一处
B.二处
C.三处
D.四处

5. D

【分析】
解题的核心依据是角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题目要求加油站到三条两两相交的公路距离相等，说明加油站的位置需要同时在三条公路两两相交所形成的角的平分线上。我们分两类寻找交点：第一类是三条公路围成的三角形内部，三个内角的角平分线交于1点，满足到三条公路距离相等；第二类是三角形外部，任意两个外角的角平分线交于1点，这类交点共有3个，也满足到三条公路距离相等。两类交点合计共4个，即可供选择的地址有四处。
【解析】
解：根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
要使加油站到三条两两相交的公路距离相等，该点需为三条公路两两所成角的角平分线的公共交点：
1. 在三条公路围成的三角形内部，三个内角的角平分线交于1个点，该点到三条公路的距离相等；
2. 在三角形外部，任意两个外角的角平分线交于1个点，这类交点共有3个，每个点到三条公路的距离也相等。
综上，符合条件的点共有$1+3=4$个，即可供选择的地址有四处。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的性质、三角形内外角平分线
【点评】
本题考查角平分线性质的实际应用，解题时容易只考虑三角形内部的内角平分线交点，遗漏外部的外角平分线交点而出错，需全面分析所有可能的角平分线交点情况。
【难度系数】
0.6

6.校园一角的形状如图①,其中AB,BC,CD表示围墙.小亮通过作角平分线在图示的区域中找到了一点P(如图②),使得点P到三面墙的距离都相等.你能解释他这样做的道理吗?

6. 解 如图,过点P作$PE⊥AB$于点E,$PF⊥BC$于点F,$PG⊥CD$于点G，
∵BP,CP分别是$∠ABC,∠BCD$的平分线，
∴$PE=PF,PF=PG$，
∴$PE=PF=PG$.故点P到三面墙的距离都相等.

【分析】
要说明点P到三面墙的距离相等，需结合角平分线的性质分析：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先，BP是∠ABC的角平分线，因此点P到AB、BC两边的距离相等；CP是∠BCD的角平分线，因此点P到BC、CD两边的距离相等，通过等量代换即可推导出点P到三面墙的距离都相等。解题时先过点P向三面墙作垂线段，再结合角平分线性质逐步推导即可。
【解析】
过点P作$PE⊥AB$于点E，$PF⊥BC$于点F，$PG⊥CD$于点G。
∵BP是$∠ABC$的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$PE=PF$。
又
∵CP是$∠BCD$的平分线，同理可得$PF=PG$。
根据等量代换可得$PE=PF=PG$，即点P到AB、BC、CD三面墙的距离都相等。
【答案】
解 如图,过点P作$PE⊥AB$于点E,$PF⊥BC$于点F,$PG⊥CD$于点G，
∵BP,CP分别是$∠ABC,∠BCD$的平分线，
∴$PE=PF,PF=PG$，
∴$PE=PF=PG$.故点P到三面墙的距离都相等.
【知识点】
角平分线的性质，点到直线的距离，等量代换
【点评】
本题结合生活场景考查几何性质的实际应用，要求学生熟练掌握角平分线的性质，能将实际问题转化为几何模型求解，侧重对基础知识点的理解和运用。
【难度系数】
0.8