典例1 已知二次三项式 $x^2 - 4x + m$ 有一个因式是$(x + 3)$，求另一个因式及$m$的值。

典例1 解 设另一个因式为$(x+a)$，
则$(x+3)(x+a)=x^2+(3+a)x+3a$，
$\because x^2 -4x +m=(x+3)(x+a)=x^2+(3+a)x+3a$，
$\therefore 3+a=-4,3a=m$，
$\therefore a=-7,m=-21$，
即另一个因式为$(x-7),m=-21$。

【分析】
因式分解与整式乘法是互逆的运算关系，二次三项式$x^2-4x+m$的最高次为2次，已知其中一个一次因式是$(x+3)$，则另一个因式也为一次因式，且原二次三项式的二次项系数为1，因此另一个一次因式的一次项系数也为1，可设为$(x+a)$。将两个一次因式相乘展开后，和原二次三项式对比，令对应项的系数相等，即可列出关于$a$和$m$的方程，求解就能得到结果。
【解析】
设另一个因式为$(x+a)$，
则$(x+3)(x+a)=x^2+(3+a)x+3a$，
$\because x^2 -4x +m=(x+3)(x+a)=x^2+(3+a)x+3a$，
$\therefore$ 根据对应项系数相等可得：
$3+a=-4$，$3a=m$，
解得$a=-7$，$m=-21$，
即另一个因式为$(x-7)$。
【答案】
另一个因式为$\boldsymbol{(x-7)}$，$m$的值为$\boldsymbol{-21}$。
【知识点】
1. 因式分解与整式乘法互逆
2. 多项式对应系数相等
【点评】
本题是因式分解模块的典型基础题，核心解题方法为待定系数法，通过设未知因式、展开整式、对比系数建立方程求解，掌握该方法对解决同类因式求参问题十分有帮助。
【难度系数】
0.7

典例2 分解因式：
$6x(x-y)^2 + 3(y-x)^3$

典例2 解 $6x(x-y)^2 +3(y-x)^3$
$=6x(x-y)^2 -3(x-y)^3$
$=3(x-y)^2[2x-(x-y)]$
$=3(x-y)^2(x+y)$。

【分析】
首先观察多项式的两项，发现均含有与$(x-y)$相关的因式，第一步先统一底数，利用$(y-x)^3=-(x-y)^3$将两项的底数统一为$(x-y)$；第二步找出两项的公因式，公因式为系数的最大公约数与相同因式最低次幂的乘积；第三步提取公因式后，合并括号内的同类项即可完成因式分解。
【解析】
$6x(x-y)^2 +3(y-x)^3$
$=6x(x-y)^2 -3(x-y)^3$（将$(y-x)^3$变形为$-(x-y)^3$，统一两项的底数）
$=3(x-y)^2[2x-(x-y)]$（提取公因式$3(x-y)^2$）
$=3(x-y)^2(2x-x+y)$（去掉小括号并整理）
$=3(x-y)^2(x+y)$（合并括号内的同类项）
【答案】
$3(x-y)^2(x+y)$
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式符号变形，同类项合并
【点评】
本题是因式分解的基础题型，解题核心是先将不同底数的幂转化为同底数幂，准确识别公因式，要重点注意符号的处理，避免因符号出错导致解题错误。
【难度系数】
0.7