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1. 在下列各式中：① $3x - 4 = -1$；② $5y^2 + 2y = 3$；③ $7x - 1$；④ $x - 2 ≠ 0$；⑤ $x ＜ x + 1$；⑥ $3×\frac{π}{2} = \frac{3π}{2}$。其中是方程的个数是（
A.2
B.3
C.4
D.5
A
）。A.2
B.3
C.4
D.5
答案
1. A
解析
【分析】
解题前先明确方程的判定标准：方程必须同时满足两个条件，一是为含有等号的等式，二是含有未知数。我们只需按照这两个标准逐个判断给出的6个式子，统计符合条件的式子个数即可得到答案。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，逐个分析各式：
① $3x - 4 = -1$：是等式，且含有未知数$x$，属于方程；
② $5y^2 + 2y = 3$：是等式，且含有未知数$y$，属于方程；
③ $7x - 1$：是代数式，没有等号，不属于等式，不是方程；
④ $x - 2 ≠ 0$：含有不等号，属于不等式，不是等式，不是方程；
⑤ $x ＜ x + 1$：含有不等号，属于不等式，不是等式，不是方程；
⑥ $3×\frac{π}{2} = \frac{3π}{2}$：是等式，但$π$是常数，式子中没有未知数，不是方程。
综上，是方程的有①②共2个，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是抓住方程的两个必备判定条件，注意不要将不含未知数的等式、不等式、代数式误判为方程，判断时需仔细核对两个条件是否同时满足。
【难度系数】
0.8
解题前先明确方程的判定标准：方程必须同时满足两个条件，一是为含有等号的等式，二是含有未知数。我们只需按照这两个标准逐个判断给出的6个式子，统计符合条件的式子个数即可得到答案。
【解析】
根据方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，逐个分析各式：
① $3x - 4 = -1$：是等式，且含有未知数$x$，属于方程；
② $5y^2 + 2y = 3$：是等式，且含有未知数$y$，属于方程；
③ $7x - 1$：是代数式，没有等号，不属于等式，不是方程；
④ $x - 2 ≠ 0$：含有不等号，属于不等式，不是等式，不是方程；
⑤ $x ＜ x + 1$：含有不等号，属于不等式，不是等式，不是方程；
⑥ $3×\frac{π}{2} = \frac{3π}{2}$：是等式，但$π$是常数，式子中没有未知数，不是方程。
综上，是方程的有①②共2个，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的核心是抓住方程的两个必备判定条件，注意不要将不含未知数的等式、不等式、代数式误判为方程，判断时需仔细核对两个条件是否同时满足。
【难度系数】
0.8
2. 已知长方形的长与宽分别为 16 cm，x cm，周长为 40 cm，根据条件，列出方程为
$2(16+x)=40$
.答案
2. $2(16+x)=40$
解析
【分析】
解这道题首先要找准题目中的等量关系，本题的等量关系来自长方形周长的固定计算公式。首先回忆长方形周长的计算规则：周长等于长与宽的和的2倍。再把题目给出的长16cm、宽x cm、周长40cm对应代入公式，就能列出所求方程。
【解析】
1. 首先明确长方形周长公式：$\mathrm{长方形周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$
2. 对应代入题目中的已知量和未知数：已知长为16cm，宽为$x$cm，周长为40cm，将各量代入周长公式，即可得到方程：
$2(16+x)=40$
【答案】
$2(16+x)=40$
【知识点】
长方形周长计算；列一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查根据几何图形的周长公式列方程，解题关键是熟练掌握常见图形的周长计算公式，准确匹配等量关系中的各个量即可。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要找准题目中的等量关系，本题的等量关系来自长方形周长的固定计算公式。首先回忆长方形周长的计算规则：周长等于长与宽的和的2倍。再把题目给出的长16cm、宽x cm、周长40cm对应代入公式，就能列出所求方程。
【解析】
1. 首先明确长方形周长公式：$\mathrm{长方形周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$
2. 对应代入题目中的已知量和未知数：已知长为16cm，宽为$x$cm，周长为40cm，将各量代入周长公式，即可得到方程：
$2(16+x)=40$
【答案】
$2(16+x)=40$
【知识点】
长方形周长计算；列一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，考查根据几何图形的周长公式列方程，解题关键是熟练掌握常见图形的周长计算公式，准确匹配等量关系中的各个量即可。
【难度系数】
0.9
3. 根据下列条件，列出方程.
(1)$x$的2倍与$-5$的差为9；
(2)5与$x$的差的绝对值等于4的平方；
(3)$y$与13的差的一半等于$x$的$\frac{3}{5}$.
(1)$x$的2倍与$-5$的差为9；
(2)5与$x$的差的绝对值等于4的平方；
(3)$y$与13的差的一半等于$x$的$\frac{3}{5}$.
答案
3. 解 (1)$2x-(-5)=9$.
(2)$|5-x|=4^2$.
(3)$\frac{1}{2}(y-13)=\frac{3}{5}x$.
(2)$|5-x|=4^2$.
(3)$\frac{1}{2}(y-13)=\frac{3}{5}x$.
解析
【分析】
列方程的核心是将文字描述的数量关系转化为含未知数的等式，解题时先定位运算关键词：“倍”对应乘法、“差”对应前者减后者、“绝对值”对应加绝对值符号、“平方”对应二次方、“几分之几”对应乘法，同时注意运算顺序，需要优先计算的部分要加括号。具体到每个小问：
(1)先表示“x的2倍”为2x，再表示它与-5的差，最后令结果等于9即可；
(2)先计算“5与x的差”，再给差加绝对值，令其等于4的平方即可；
(3)先计算“y与13的差”，再求差的一半，令其等于x的$\frac{3}{5}$即可。
【解析】
(1) x的2倍为$2x$，它与$-5$的差为$2x - (-5)$，根据差为9，可列方程：$2x - (-5) = 9$；
(2) 5与x的差为$5 - x$，它的绝对值为$|5 - x|$，4的平方为$4^2$，根据两者相等，可列方程：$|5 - x| = 4^2$；
(3) y与13的差为$y - 13$，它的一半为$\frac{1}{2}(y - 13)$，x的$\frac{3}{5}$为$\frac{3}{5}x$，根据两者相等，可列方程：$\frac{1}{2}(y - 13) = \frac{3}{5}x$。
【答案】
(1)$2x-(-5)=9$；
(2)$|5-x|=4^2$；
(3)$\frac{1}{2}(y-13)=\frac{3}{5}x$
【知识点】
列方程、文字语言转数学语言、代数式书写
【点评】
本题是列方程的基础题型，主要考查对文字描述中运算关系的理解，解题时要注意区分“A与B的差”是A减B，需要优先计算的部分要及时添加括号，避免因运算顺序错误列错方程。
【难度系数】
0.85
列方程的核心是将文字描述的数量关系转化为含未知数的等式，解题时先定位运算关键词：“倍”对应乘法、“差”对应前者减后者、“绝对值”对应加绝对值符号、“平方”对应二次方、“几分之几”对应乘法，同时注意运算顺序，需要优先计算的部分要加括号。具体到每个小问：
(1)先表示“x的2倍”为2x，再表示它与-5的差，最后令结果等于9即可；
(2)先计算“5与x的差”，再给差加绝对值，令其等于4的平方即可；
(3)先计算“y与13的差”，再求差的一半，令其等于x的$\frac{3}{5}$即可。
【解析】
(1) x的2倍为$2x$，它与$-5$的差为$2x - (-5)$，根据差为9，可列方程：$2x - (-5) = 9$；
(2) 5与x的差为$5 - x$，它的绝对值为$|5 - x|$，4的平方为$4^2$，根据两者相等，可列方程：$|5 - x| = 4^2$；
(3) y与13的差为$y - 13$，它的一半为$\frac{1}{2}(y - 13)$，x的$\frac{3}{5}$为$\frac{3}{5}x$，根据两者相等，可列方程：$\frac{1}{2}(y - 13) = \frac{3}{5}x$。
【答案】
(1)$2x-(-5)=9$；
(2)$|5-x|=4^2$；
(3)$\frac{1}{2}(y-13)=\frac{3}{5}x$
【知识点】
列方程、文字语言转数学语言、代数式书写
【点评】
本题是列方程的基础题型，主要考查对文字描述中运算关系的理解，解题时要注意区分“A与B的差”是A减B，需要优先计算的部分要及时添加括号，避免因运算顺序错误列错方程。
【难度系数】
0.85
4. 根据下列问题,设未知数并列出方程:
(1)若从一块正方形铁皮上,截去一个宽为2 cm,长与正方形铁皮边长相等的长方形铁皮,余下的面积是80 cm²,则原来正方形铁皮的边长是多少?
(2)某商店规定,购买单价超过15 000元的物品可以采用分期付款的方式支付,顾客可以先付3 000元,以后每月(下个月起)购买日需付1 500元,直至付清全部货款.王叔叔想用分期付款的方式购买价值19 500元的电脑,他需要用多少个月才能付清全部货款?
(1)若从一块正方形铁皮上,截去一个宽为2 cm,长与正方形铁皮边长相等的长方形铁皮,余下的面积是80 cm²,则原来正方形铁皮的边长是多少?
(2)某商店规定,购买单价超过15 000元的物品可以采用分期付款的方式支付,顾客可以先付3 000元,以后每月(下个月起)购买日需付1 500元,直至付清全部货款.王叔叔想用分期付款的方式购买价值19 500元的电脑,他需要用多少个月才能付清全部货款?
答案
4. 解 (1)设原来正方形铁皮的边长为 $x$ cm,那么原来正方形的面积为 $x^2$ cm²,截去的长方形铁皮的面积为 $2x$ cm²,根据“余下的面积是 80 cm²”,列得方程 $x^2-2x=80$.
(2)设王叔叔需要用 $x$ 个月才能付清全部货款,根据“先付 3 000 元,以后每月付 1 500 元,电脑价值为 19 500 元”,列得方程 $3 000+1 500x=19 500$.
(2)设王叔叔需要用 $x$ 个月才能付清全部货款,根据“先付 3 000 元,以后每月付 1 500 元,电脑价值为 19 500 元”,列得方程 $3 000+1 500x=19 500$.
解析
【分析】
对于(1)题，属于几何面积类问题，思考步骤为：先明确题目中的面积等量关系：原正方形面积 - 截去的长方形面积 = 剩余面积，再设正方形边长为未知数，分别表示出两个图形的面积，代入等量关系即可列方程。对于(2)题，属于分期付款实际问题，核心等量关系为：首付金额 + 后续每月付款金额×付款月数 = 商品总价格，设付款月数为未知数，代入对应数值就能列出方程。
【解析】
(1) 设原来正方形铁皮的边长为$ x $ cm，则原正方形的面积为$ x^2 $ cm²，截去的长方形铁皮的面积为$ 2x $ cm²。根据“余下的面积是80 cm²”的等量关系，列方程：
$ x^2 - 2x = 80 $
(2) 设王叔叔需要用$ x $个月才能付清全部货款，已知首付3000元，之后每月付1500元，电脑总价为19500元。根据总付款等于电脑价值的等量关系，列方程：
$ 3000 + 1500x = 19500 $
【答案】
(1) 设原来正方形铁皮的边长为$ x $ cm，方程为$\boldsymbol{x^2 - 2x = 80}$；
(2) 设需要$ x $个月付清全部货款，方程为$\boldsymbol{3000 + 1500x = 19500}$。
【知识点】
列方程解应用题、图形面积计算、实际问题等量建模
【点评】
本题是列方程的基础练习题，重点考查学生从题干中提取等量关系的能力，解题的关键是准确梳理不同场景下的数量和差逻辑，掌握方法后可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
对于(1)题，属于几何面积类问题，思考步骤为：先明确题目中的面积等量关系：原正方形面积 - 截去的长方形面积 = 剩余面积，再设正方形边长为未知数，分别表示出两个图形的面积，代入等量关系即可列方程。对于(2)题，属于分期付款实际问题，核心等量关系为：首付金额 + 后续每月付款金额×付款月数 = 商品总价格，设付款月数为未知数，代入对应数值就能列出方程。
【解析】
(1) 设原来正方形铁皮的边长为$ x $ cm，则原正方形的面积为$ x^2 $ cm²，截去的长方形铁皮的面积为$ 2x $ cm²。根据“余下的面积是80 cm²”的等量关系，列方程：
$ x^2 - 2x = 80 $
(2) 设王叔叔需要用$ x $个月才能付清全部货款，已知首付3000元，之后每月付1500元，电脑总价为19500元。根据总付款等于电脑价值的等量关系，列方程：
$ 3000 + 1500x = 19500 $
【答案】
(1) 设原来正方形铁皮的边长为$ x $ cm，方程为$\boldsymbol{x^2 - 2x = 80}$；
(2) 设需要$ x $个月付清全部货款，方程为$\boldsymbol{3000 + 1500x = 19500}$。
【知识点】
列方程解应用题、图形面积计算、实际问题等量建模
【点评】
本题是列方程的基础练习题，重点考查学生从题干中提取等量关系的能力，解题的关键是准确梳理不同场景下的数量和差逻辑，掌握方法后可快速解决同类问题。
【难度系数】
0.8
5.如图,在编写数学谜题时,“”内要求填写同一个数字,若设“”内的数字为y,则可列出方程
$5(120+y)=100y+30$
. 答案
5. $5(120+y)=100y+30$
解析
【分析】
解题时首先要明确数位的意义：不同数位上的数字表示的数值不同，个位数字直接表示几个1，十位数字乘10，百位数字乘100。首先我们先用含y的式子表示出第一个乘数和积：第一个乘数是三位数，百位为1、十位为2、个位为y，因此可表示为120+y；积也是三位数，百位为y、十位为3、个位为0，因此可表示为100y+30。再根据“乘数×乘数=积”的等量关系，即可列出对应的方程。
【解析】
设“”内的数字为y：
1. 表示第一个乘数：三位数12的个位是y，因此这个数为 $12×10 + y = 120+y$；
2. 表示乘积：三位数30的百位是y，因此这个积为 $y×100 + 3×10 + 0 = 100y+30$；
3. 根据乘法的等量关系：第一个乘数×5=积，代入得方程：$5(120+y)=100y+30$。
【答案】
$5(120+y)=100y+30$
【知识点】
1. 数位的意义
2. 列一元一次方程
【点评】
本题是基础的列方程类题目，核心是掌握用含未知数的式子表示多位数的方法，找到题目中的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确数位的意义：不同数位上的数字表示的数值不同，个位数字直接表示几个1，十位数字乘10，百位数字乘100。首先我们先用含y的式子表示出第一个乘数和积：第一个乘数是三位数，百位为1、十位为2、个位为y，因此可表示为120+y；积也是三位数，百位为y、十位为3、个位为0，因此可表示为100y+30。再根据“乘数×乘数=积”的等量关系，即可列出对应的方程。
【解析】
设“”内的数字为y：
1. 表示第一个乘数：三位数12的个位是y，因此这个数为 $12×10 + y = 120+y$；
2. 表示乘积：三位数30的百位是y，因此这个积为 $y×100 + 3×10 + 0 = 100y+30$；
3. 根据乘法的等量关系：第一个乘数×5=积，代入得方程：$5(120+y)=100y+30$。
【答案】
$5(120+y)=100y+30$
【知识点】
1. 数位的意义
2. 列一元一次方程
【点评】
本题是基础的列方程类题目，核心是掌握用含未知数的式子表示多位数的方法，找到题目中的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
