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典例1 观察下表，写出关于$x$的方程$2x+1=ax-2$的解：
x=-2
.答案
典例1 答案 $x=-2$ 解析 本题考查了一元一次方程的解.方程的解,就是能够使方程左、右两边相等的未知数的值.观察表格可得,当$2x+1=-3=ax-2$时,$x=-2$.
解析
【分析】
解题首先要明确一元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。本题方程左边为代数式2x+1，右边为代数式ax-2，因此只需要在表格中找到两个代数式取值相等时对应的x值，即为该方程的解。
【解析】
根据方程的解的定义，方程$2x+1=ax-2$的解就是使$2x+1$和$ax-2$的值相等的$x$的值。
观察表格数据：当$x=-2$时，$2x+1=-3$，同时$ax-2=-3$，两个代数式的值相等，满足方程左右两边相等的要求。
因此方程$2x+1=ax-2$的解为$x=-2$。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
一元一次方程的解，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，不需要求解参数$a$，结合表格数据直接查找两个代数式值相等时对应的$x$即可，解题核心是准确理解方程的解的含义。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确一元一次方程的解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解。本题方程左边为代数式2x+1，右边为代数式ax-2，因此只需要在表格中找到两个代数式取值相等时对应的x值，即为该方程的解。
【解析】
根据方程的解的定义，方程$2x+1=ax-2$的解就是使$2x+1$和$ax-2$的值相等的$x$的值。
观察表格数据：当$x=-2$时，$2x+1=-3$，同时$ax-2=-3$，两个代数式的值相等，满足方程左右两边相等的要求。
因此方程$2x+1=ax-2$的解为$x=-2$。
【答案】
$x=-2$
【知识点】
一元一次方程的解，代数式求值
【点评】
本题属于基础题，不需要求解参数$a$，结合表格数据直接查找两个代数式值相等时对应的$x$即可，解题核心是准确理解方程的解的含义。
【难度系数】
0.9
举一反三 已知$x=1$是方程$ax-b=0$的解，则$2a-2b+2026=$
2 026
。答案
1. 2 026
解析
【分析】
解题时先根据方程的解的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此将x=1代入已知方程，即可得到a与b的数量关系；再观察所求代数式的结构，可对含字母的部分提取公因式，将得到的a、b的关系整体代入计算，就能快速求出结果，不需要分别求出a、b的具体值。
【解析】
1. 把$x=1$代入方程$ax-b=0$，可得：
$a×1 - b = 0$，即$a - b = 0$
2. 对所求代数式变形，提取公因式2：
$2a-2b+2026=2(a-b)+2026$
3. 将$a-b=0$整体代入上式计算：
原式$=2×0 + 2026=2026$
【答案】
2026
【知识点】
方程的解的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用和整体代入的思想，解题的关键是先通过代入方程的解得到字母间的数量关系，再整体代入代数式计算，能简化计算过程。
【难度系数】
0.9
解题时先根据方程的解的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，因此将x=1代入已知方程，即可得到a与b的数量关系；再观察所求代数式的结构，可对含字母的部分提取公因式，将得到的a、b的关系整体代入计算，就能快速求出结果，不需要分别求出a、b的具体值。
【解析】
1. 把$x=1$代入方程$ax-b=0$，可得：
$a×1 - b = 0$，即$a - b = 0$
2. 对所求代数式变形，提取公因式2：
$2a-2b+2026=2(a-b)+2026$
3. 将$a-b=0$整体代入上式计算：
原式$=2×0 + 2026=2026$
【答案】
2026
【知识点】
方程的解的定义；代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程解的应用和整体代入的思想，解题的关键是先通过代入方程的解得到字母间的数量关系，再整体代入代数式计算，能简化计算过程。
【难度系数】
0.9
2. 检验一个数是不是方程的解
典例2 判断 $x=3$ 和 $x=2$ 是不是方程 $4x+5=8x-3$ 的解.
举一反三 $x=1$ 是方程
典例2 判断 $x=3$ 和 $x=2$ 是不是方程 $4x+5=8x-3$ 的解.
举一反三 $x=1$ 是方程
①②③
的解.(请填写所有符合条件的方程的序号)答案
2. ①②③
解析
【分析】
判断一个数是否为方程的解的核心方法是代入验证法：把待检验的数值分别代入方程的左边和右边，分别计算出两边的结果，若左边计算结果等于右边计算结果，那么这个数就是该方程的解，反之则不是。
典例2我们分别将x=3、x=2代入方程$4x+5=8x-3$的左右两边计算比较即可得出结论；举一反三的题目我们将$x=1$分别代入各序号对应的方程，筛选出左右两边相等的方程即可。
【解析】
典例2解析
1. 检验$x=3$：
把$x=3$代入方程左边：$4×3 + 5 = 17$
把$x=3$代入方程右边：$8×3 - 3 = 21$
因为$17≠21$，即左边≠右边，所以$x=3$不是方程$4x+5=8x-3$的解。
2. 检验$x=2$：
把$x=2$代入方程左边：$4×2 + 5 = 13$
把$x=2$代入方程右边：$8×2 - 3 = 13$
因为$13=13$，即左边=右边，所以$x=2$是方程$4x+5=8x-3$的解。
举一反三解析
将$x=1$分别代入各待选方程的左右两边计算，验证得序号①、②、③对应的方程代入后均满足左边=右边，因此这三个方程均符合要求。
【答案】
①②③
【知识点】
方程的解的判定、代入求值、整式运算
【点评】
本题是方程部分的基础题型，核心考查方程解的验证方法，掌握代入验证的步骤即可快速解题，运算时注意仔细计算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.85
判断一个数是否为方程的解的核心方法是代入验证法：把待检验的数值分别代入方程的左边和右边，分别计算出两边的结果，若左边计算结果等于右边计算结果，那么这个数就是该方程的解，反之则不是。
典例2我们分别将x=3、x=2代入方程$4x+5=8x-3$的左右两边计算比较即可得出结论；举一反三的题目我们将$x=1$分别代入各序号对应的方程，筛选出左右两边相等的方程即可。
【解析】
典例2解析
1. 检验$x=3$：
把$x=3$代入方程左边：$4×3 + 5 = 17$
把$x=3$代入方程右边：$8×3 - 3 = 21$
因为$17≠21$，即左边≠右边，所以$x=3$不是方程$4x+5=8x-3$的解。
2. 检验$x=2$：
把$x=2$代入方程左边：$4×2 + 5 = 13$
把$x=2$代入方程右边：$8×2 - 3 = 13$
因为$13=13$，即左边=右边，所以$x=2$是方程$4x+5=8x-3$的解。
举一反三解析
将$x=1$分别代入各待选方程的左右两边计算，验证得序号①、②、③对应的方程代入后均满足左边=右边，因此这三个方程均符合要求。
【答案】
①②③
【知识点】
方程的解的判定、代入求值、整式运算
【点评】
本题是方程部分的基础题型，核心考查方程解的验证方法，掌握代入验证的步骤即可快速解题，运算时注意仔细计算，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.85
典例3 下列等式中哪些是方程？哪些是一元一次方程？
(1)$-2+5=3$；
(2)$3x-2=7$；
(3)$m=5$；
(4)$x+y=6$；
(5)$2x^2 -5x +1=0$；
(6)$x=3$。
规律总结 一元一次方程的判定条件：
(1)最简形式下只含有一个未知数；(2)含有未知数的式子为整式；(3)未知数的次数为1。
(1)$-2+5=3$；
(2)$3x-2=7$；
(3)$m=5$；
(4)$x+y=6$；
(5)$2x^2 -5x +1=0$；
(6)$x=3$。
规律总结 一元一次方程的判定条件：
(1)最简形式下只含有一个未知数；(2)含有未知数的式子为整式；(3)未知数的次数为1。
答案
解：
含有未知数的等式叫做方程，因此是方程的有：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(4)$x+y=6$，(5)$2x^2-5x+1=0$，(6)$x=3$。
同时满足“最简形式下只含有一个未知数、含有未知数的式子为整式、未知数的次数为1”三个条件的一元一次方程有：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(6)$x=3$。
含有未知数的等式叫做方程，因此是方程的有：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(4)$x+y=6$，(5)$2x^2-5x+1=0$，(6)$x=3$。
同时满足“最简形式下只含有一个未知数、含有未知数的式子为整式、未知数的次数为1”三个条件的一元一次方程有：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(6)$x=3$。
解析
【分析】
解题时先明确两个核心判定标准：①方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判定时需同时满足“是等式”“含有未知数”两个条件；②一元一次方程的判定需满足三个要求：最简形式下只含1个未知数、含未知数的式子是整式、未知数的次数为1。解题步骤为先逐个核对6个式子，先选出所有符合方程定义的式子，再从选出的方程中核对一元一次方程的三个条件，筛选出符合要求的一元一次方程。
【解析】
第一步：判断方程
(1) $-2+5=3$是等式但不含未知数，不是方程；
(2) $3x-2=7$是含未知数$x$的等式，是方程；
(3) $m=5$是含未知数$m$的等式，是方程；
(4) $x+y=6$是含未知数$x、y$的等式，是方程；
(5) $2x^2-5x+1=0$是含未知数$x$的等式，是方程；
(6) $x=3$是含未知数$x$的等式，是方程。
第二步：判断一元一次方程
从上述选出的方程中核对条件：
(2) 仅含1个未知数$x$，含未知数的式子是整式，$x$次数为1，是一元一次方程；
(3) 仅含1个未知数$m$，含未知数的式子是整式，$m$次数为1，是一元一次方程；
(4) 含2个未知数，不符合要求，不是一元一次方程；
(5) 未知数$x$次数为2，不符合要求，不是一元一次方程；
(6) 仅含1个未知数$x$，含未知数的式子是整式，$x$次数为1，是一元一次方程。
【答案】
是方程的有：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(4)$x+y=6$，(5)$2x^2-5x+1=0$，(6)$x=3$；
是一元一次方程的有：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(6)$x=3$。
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的判定
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题核心是准确掌握方程和一元一次方程的判定标准，注意不要误认为$x=3$这类形式简单的等式不是方程，也不要将含多个未知数、未知数次数大于1的整式方程错判为一元一次方程。
【难度系数】
0.8
解题时先明确两个核心判定标准：①方程的定义：含有未知数的等式叫做方程，判定时需同时满足“是等式”“含有未知数”两个条件；②一元一次方程的判定需满足三个要求：最简形式下只含1个未知数、含未知数的式子是整式、未知数的次数为1。解题步骤为先逐个核对6个式子，先选出所有符合方程定义的式子，再从选出的方程中核对一元一次方程的三个条件，筛选出符合要求的一元一次方程。
【解析】
第一步：判断方程
(1) $-2+5=3$是等式但不含未知数，不是方程；
(2) $3x-2=7$是含未知数$x$的等式，是方程；
(3) $m=5$是含未知数$m$的等式，是方程；
(4) $x+y=6$是含未知数$x、y$的等式，是方程；
(5) $2x^2-5x+1=0$是含未知数$x$的等式，是方程；
(6) $x=3$是含未知数$x$的等式，是方程。
第二步：判断一元一次方程
从上述选出的方程中核对条件：
(2) 仅含1个未知数$x$，含未知数的式子是整式，$x$次数为1，是一元一次方程；
(3) 仅含1个未知数$m$，含未知数的式子是整式，$m$次数为1，是一元一次方程；
(4) 含2个未知数，不符合要求，不是一元一次方程；
(5) 未知数$x$次数为2，不符合要求，不是一元一次方程；
(6) 仅含1个未知数$x$，含未知数的式子是整式，$x$次数为1，是一元一次方程。
【答案】
是方程的有：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(4)$x+y=6$，(5)$2x^2-5x+1=0$，(6)$x=3$；
是一元一次方程的有：(2)$3x-2=7$，(3)$m=5$，(6)$x=3$。
【知识点】
方程的定义；一元一次方程的判定
【点评】
本题属于基础概念类题型，解题核心是准确掌握方程和一元一次方程的判定标准，注意不要误认为$x=3$这类形式简单的等式不是方程，也不要将含多个未知数、未知数次数大于1的整式方程错判为一元一次方程。
【难度系数】
0.8
举一反三 方程:①$2x+y=0$;②$\frac{1}{x}=3$;③$5+2x=4$;④$x=2$;⑤$x^2+x=0$中,是一元一次方程的是(
A.①⑤
B.②④
C.③⑤
D.③④
典例解析
典例1
答案 $x=-2$
解析 本题考查了一元一次方程的解.方程的解,就是能够使方程左、右两边相等的未知数的值.观察表格可得,当$2x+1=-3=ax-2$时,$x=-2$.
典例2
解 当$x=3$时,方程$4x+5=8x-3$的左边$=4×3+5=17$,右边$=8×3-3=21$,
方程左、右两边的值不相等,所以$x=3$不是方程$4x+5=8x-3$的解.
当$x=2$时,方程$4x+5=8x-3$的左边$=4×2+5=13$,右边$=8×2-3=13$,
方程左、右两边的值相等,所以$x=2$是方程$4x+5=8x-3$的解.
典例3
解 (2)(3)(4)(5)(6)是方程.
(2)(3)(6)是一元一次方程.
D
).A.①⑤
B.②④
C.③⑤
D.③④
典例解析
典例1
答案 $x=-2$
解析 本题考查了一元一次方程的解.方程的解,就是能够使方程左、右两边相等的未知数的值.观察表格可得,当$2x+1=-3=ax-2$时,$x=-2$.
典例2
解 当$x=3$时,方程$4x+5=8x-3$的左边$=4×3+5=17$,右边$=8×3-3=21$,
方程左、右两边的值不相等,所以$x=3$不是方程$4x+5=8x-3$的解.
当$x=2$时,方程$4x+5=8x-3$的左边$=4×2+5=13$,右边$=8×2-3=13$,
方程左、右两边的值相等,所以$x=2$是方程$4x+5=8x-3$的解.
典例3
解 (2)(3)(4)(5)(6)是方程.
(2)(3)(6)是一元一次方程.
答案
3. D
解析
【分析】
要判断哪些是一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个判定条件：1. 是整式方程（等号两边均为整式，分母不含未知数）；2. 只含有1个未知数；3. 未知数的最高次数为1。接下来我们逐个验证给出的5个方程，筛选出同时满足三个条件的方程即可。
【解析】
我们逐个分析每个方程：
1. 方程①$2x+y=0$：含有$x$、$y$两个未知数，不满足“只含1个未知数”的要求，不是一元一次方程；
2. 方程②$\frac{1}{x}=3$：分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
3. 方程③$5+2x=4$：只含未知数$x$，$x$的最高次数是1，且等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
4. 方程④$x=2$：只含未知数$x$，$x$的最高次数是1，属于整式方程，符合一元一次方程的定义；
5. 方程⑤$x^2+x=0$：未知数$x$的最高次数为2，不符合要求。
综上，是一元一次方程的为③④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记一元一次方程的三个判定要点，逐一排查即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要判断哪些是一元一次方程，首先要明确一元一次方程的三个判定条件：1. 是整式方程（等号两边均为整式，分母不含未知数）；2. 只含有1个未知数；3. 未知数的最高次数为1。接下来我们逐个验证给出的5个方程，筛选出同时满足三个条件的方程即可。
【解析】
我们逐个分析每个方程：
1. 方程①$2x+y=0$：含有$x$、$y$两个未知数，不满足“只含1个未知数”的要求，不是一元一次方程；
2. 方程②$\frac{1}{x}=3$：分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
3. 方程③$5+2x=4$：只含未知数$x$，$x$的最高次数是1，且等号两边都是整式，符合一元一次方程的定义；
4. 方程④$x=2$：只含未知数$x$，$x$的最高次数是1，属于整式方程，符合一元一次方程的定义；
5. 方程⑤$x^2+x=0$：未知数$x$的最高次数为2，不符合要求。
综上，是一元一次方程的为③④，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是牢记一元一次方程的三个判定要点，逐一排查即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
