5. 在数学综合实践活动课上，小明将一个无盖礼品纸盒拆开并展开，如图，若展开后的长与宽分别记为a cm，b cm，在纸盒四个角上的空白处均为边长为x cm的正方形.

(1)用a，b，x表示无盖纸盒的体积.(表示成长×宽×高即可，不用展开)
(2)当a=10，b=8，x=2时，求该无盖纸盒的体积.

5. 解 (1)由题图可知,无盖纸盒的长为$(a-2x)\mathrm{cm}$,无盖纸盒的宽为$(b-2x)\mathrm{cm}$,无盖纸盒的高为$x\ \mathrm{cm}$,无盖纸盒的体积为$x(a-2x)(b-2x)\mathrm{cm}^3$.
(2)当$a=10,b=8,x=2$时,无盖纸盒的体积为$2×(10-2×2)×(8-2×2)=48(\mathrm{cm}^3)$.
答:该无盖纸盒的体积为$48\ \mathrm{cm}^3$.

【分析】
要解决本题，首先明确无盖长方体体积公式为长×宽×高，因此需要先从展开图中推导纸盒的长、宽、高：
1. 求长宽高：展开图总长度为a，左右两侧各有1个边长为x的正方形，因此纸盒的长 = a减去2个x的长度；展开图总宽度为b，上下两侧各有1个边长为x的正方形，因此纸盒的宽 = b减去2个x的长度；纸盒的高就是剪掉的小正方形的边长x。
2. 第一问将三个量相乘即可得到体积表达式；第二问把给定的a、b、x的数值代入表达式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 根据展开图特征可得：
无盖纸盒的高为$x\ \mathrm{cm}$，
无盖纸盒的长为$(a-2x)\ \mathrm{cm}$，
无盖纸盒的宽为$(b-2x)\ \mathrm{cm}$，
根据长方体体积公式，体积为：$x(a-2x)(b-2x)\ \mathrm{cm}^3$。
(2) 把$a=10$，$b=8$，$x=2$代入体积表达式：
$\begin{aligned}\mathrm{体积}&=2×(10-2×2)×(8-2×2)\\&=2×6×4\\&=48(\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{x(a-2x)(b-2x)\ \mathrm{cm}^3}$
(2) $\boxed{48\ \mathrm{cm}^3}$
【知识点】
长方体体积计算；列代数式；代数式求值
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题关键是能从展开图中准确还原得到无盖纸盒的长宽高参数，掌握代数式的列写和代入运算规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

1.点、线、面、体
典例1 飞机表演“飞机拉线”时，我们用数学知识可解释为点动成线.用数学知识解释下列现象：
(1)流星从空中划过留下的痕迹可解释为；
(2)一只蚂蚁行走的路线可解释为；
(3)打开折扇得到扇面可解释为；
(4)一个圆面绕它的一条直径所在直线旋转一周成球可解释为.
举一反三 将一张纸对折压实会得到一条折痕，数学中的解释为.
2. 由平面图形旋转而成的立体图形

1. (1) 点动成线
(2) 点动成线
(3) 线动成面
(4) 面动成体
举一反三 面与面相交得线

【分析】
解题时首先要明确点、线、面、体的核心关系：动态层面上，点动成线、线动成面、面动成体；静态层面上，面与面相交得线、线与线相交得点。做题时先将每个生活现象中的初始元素抽象为对应的几何元素，再判断最终形成的几何元素，匹配对应的规律即可：
1. 对于动态现象，看初始是点/线/面，运动后得到线/面/体，对应动态规律；
2. 对于对折得到折痕这类静态现象，判断参与的几何元素是两个面，相交得到线，对应静态规律。
【解析】
(1) 流星可抽象为一个点，划过的痕迹是线，符合点运动形成线的规律，故解释为点动成线；
(2) 蚂蚁可抽象为一个点，行走的路线是线，符合点运动形成线的规律，故解释为点动成线；
(3) 折扇的扇骨可抽象为线，打开折扇的过程中线运动后形成扇面，符合线运动形成面的规律，故解释为线动成面；
(4) 圆面属于面类几何元素，绕直径旋转一周后得到球体（体类几何元素），符合面运动形成体的规律，故解释为面动成体；
举一反三：一张纸可抽象为一个平面，对折压实后，两层纸对应两个平面，两个平面相交的公共部分就是折痕这条线，故解释为面与面相交得线。
【答案】
1. (1) 点动成线
(2) 点动成线
(3) 线动成面
(4) 面动成体
举一反三 面与面相交得线
【知识点】
1. 点线面体的运动关系
2. 面与面相交的性质
【点评】
本题结合生活常见现象考察几何基础概念，需要学生具备将生活现象抽象为几何元素的能力，属于基础概念应用题，能帮助学生深刻理解几何元素之间的内在联系。
【难度系数】
0.8

典例2 如图，长方形的长$AD=3\ \mathrm{cm}$，宽$AB=2\ \mathrm{cm}$，若将长方形绕$BC$边所在直线旋转一周，请你解答下列问题：

（1）得到的几何体的名称是；
（2）求得到的几何体的侧面积和体积（结果保留$π$）.
举一反三 如图，已知正方形的边长为$2\ \mathrm{cm}$，现将正方形绕其对称轴旋转一周，可以得到一个立体图形，求所得的这个立体图形的体积（结果保留$π$）.

1. (1) 圆柱
(2) 解 得到的几何体的侧面积为$2π×2×3=12π(\mathrm{cm}^2)$，
体积为$π×2^2×3=12π(\mathrm{cm}^3)$。
所以几何体的侧面积和体积分别为$12π\ \mathrm{cm}^2,12π\ \mathrm{cm}^3$。
举一反三 解 由旋转体可知正方形绕其对称轴旋转一周得到一个底面半径$r=1\ \mathrm{cm}$,高$h=2\ \mathrm{cm}$的圆柱,这个立体图形的体积为$πr^2h=π×1^2×2=2π(\mathrm{cm}^3)$。

【分析】
1. 解决本题首先回忆“面动成体”的相关知识：长方形绕它的一条边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，据此可解答第(1)问。
2. 解答第(2)问时，先明确旋转轴是BC边，BC和AD长度相等为3cm，即旋转得到的圆柱的高为3cm；长方形的宽AB为2cm，即圆柱的底面半径为2cm。再分别代入圆柱侧面积公式（侧面积=底面周长×高）、圆柱体积公式（体积=底面积×高）计算即可。
3. 解答举一反三部分时，先判断正方形绕对称轴旋转一周得到的几何体也是圆柱：正方形边长为2cm，对称轴为对边中点连线时，底面半径为边长的一半即1cm，圆柱的高等于正方形的边长2cm，再代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
典例2解答
(1) 根据“面动成体”的原理，长方形绕一边所在直线旋转一周得到的几何体是圆柱。
(2) 由题意可知，旋转所得圆柱的底面半径$r=AB=2\ \mathrm{cm}$，高$h=BC=AD=3\ \mathrm{cm}$。
① 侧面积计算：圆柱侧面积=底面周长×高，即$S_{\mathrm{侧}}=2π r h = 2π×2×3=12π(\mathrm{cm}^2)$。
② 体积计算：圆柱体积=底面积×高，即$V=π r^2 h=π×2^2×3=12π(\mathrm{cm}^3)$。
举一反三解答
正方形绕其对称轴旋转一周得到的几何体是圆柱。由正方形边长为2cm可知，所得圆柱的底面半径$r=2÷2=1\ \mathrm{cm}$，高$h=2\ \mathrm{cm}$。
代入圆柱体积公式得：$V=π r^2 h=π×1^2×2=2π(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
(1) 圆柱；
(2) 侧面积为$12π\ \mathrm{cm}^2$，体积为$12π\ \mathrm{cm}^3$；
举一反三：所得立体图形的体积为$2π\ \mathrm{cm}^3$。
【知识点】
面动成体；圆柱侧面积计算；圆柱体积计算
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查面动成体的原理和圆柱的相关计算公式，解题的关键是结合旋转轴的位置准确判断旋转后几何体的底面半径和高，计算时注意区分侧面积和体积的公式，避免混淆。
【难度系数】
0.8