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7.(选做题)阅读下面例题的解题过程,给出问题的解答.
例题:已知$x^2 - 3x + 1 = 0$,求$x^3 - 2x^2 - 2x + 50$的值.
解:因为$x^2 - 3x + 1 = 0$,
所以$x^2 - 3x = -1$,所以$x^2 = 3x - 1$,
所以$x^3 = 3x^2 - x$.
所以$x^3 - 2x^2 - 2x + 50 = (3x^2 - x) - 2x^2 - 2x + 50 = x^2 - 3x + 50 = -1 + 50 = 49$.
请参照例题的解题方法,解决以下问题:
已知$a^2 - 4a - 2 = 0$,求$a^3 - 3a^2 - 6a + 3$的值.
例题:已知$x^2 - 3x + 1 = 0$,求$x^3 - 2x^2 - 2x + 50$的值.
解:因为$x^2 - 3x + 1 = 0$,
所以$x^2 - 3x = -1$,所以$x^2 = 3x - 1$,
所以$x^3 = 3x^2 - x$.
所以$x^3 - 2x^2 - 2x + 50 = (3x^2 - x) - 2x^2 - 2x + 50 = x^2 - 3x + 50 = -1 + 50 = 49$.
请参照例题的解题方法,解决以下问题:
已知$a^2 - 4a - 2 = 0$,求$a^3 - 3a^2 - 6a + 3$的值.
答案
7. 解 因为 $a^2 - 4a - 2 = 0$,
所以 $a^2 = 4a + 2$,
所以 $a^3 = 4a^2 + 2a$,
所以 $a^3 - 3a^2 - 6a + 3 = 4a^2 + 2a - 3a^2 - 6a + 3 = a^2 - 4a + 3 = 4a + 2 - 4a + 3 = 5.$
所以 $a^2 = 4a + 2$,
所以 $a^3 = 4a^2 + 2a$,
所以 $a^3 - 3a^2 - 6a + 3 = 4a^2 + 2a - 3a^2 - 6a + 3 = a^2 - 4a + 3 = 4a + 2 - 4a + 3 = 5.$
解析
【分析】
这道题是代数式求值类问题，解题核心是参照例题的降次思路，不需要直接求出a的具体值，而是利用已知的二次等式将高次项逐步转化为低次项，最终消去未知数得到定值。首先从已知等式变形得到$a^2$的表达式，再推导$a^3$的表达式，依次代入所求多项式后合并同类项，就能化简得到结果。
【解析】
解：因为$a^2 - 4a - 2 = 0$，
所以移项可得$a^2 = 4a + 2$，
等式两边同时乘a，得$a^3 = 4a^2 + 2a$，
将$a^3 = 4a^2 + 2a$代入$a^3 - 3a^2 - 6a + 3$：
$\begin{aligned}原式&= 4a^2 + 2a - 3a^2 - 6a + 3\\&= a^2 - 4a + 3\end{aligned}$
再将$a^2 = 4a + 2$代入上式：
$\begin{aligned}原式&= 4a + 2 - 4a + 3\\&= 5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
代数式求值，整体代入法，等式的性质
【点评】
本题依托例题引导学生掌握降次求值的技巧，规避了求解未知数的复杂运算，重点考查学生对整体代入思想的运用和整式化简的能力，解题关键是能根据已知等式完成高次项到低次项的转化。
【难度系数】
0.7
这道题是代数式求值类问题，解题核心是参照例题的降次思路，不需要直接求出a的具体值，而是利用已知的二次等式将高次项逐步转化为低次项，最终消去未知数得到定值。首先从已知等式变形得到$a^2$的表达式，再推导$a^3$的表达式，依次代入所求多项式后合并同类项，就能化简得到结果。
【解析】
解：因为$a^2 - 4a - 2 = 0$，
所以移项可得$a^2 = 4a + 2$，
等式两边同时乘a，得$a^3 = 4a^2 + 2a$，
将$a^3 = 4a^2 + 2a$代入$a^3 - 3a^2 - 6a + 3$：
$\begin{aligned}原式&= 4a^2 + 2a - 3a^2 - 6a + 3\\&= a^2 - 4a + 3\end{aligned}$
再将$a^2 = 4a + 2$代入上式：
$\begin{aligned}原式&= 4a + 2 - 4a + 3\\&= 5\end{aligned}$
【答案】
5
【知识点】
代数式求值，整体代入法，等式的性质
【点评】
本题依托例题引导学生掌握降次求值的技巧，规避了求解未知数的复杂运算，重点考查学生对整体代入思想的运用和整式化简的能力，解题关键是能根据已知等式完成高次项到低次项的转化。
【难度系数】
0.7
典例1 计算：
(1)$(3m+n)+(2m-2n)$；
(2)$(-5x+7xy+12y^2)-(4x-5xy-6y^2)$。
举一反三 设$M=-a+3b$，$N=3a+b$，化简下列各式：
(1)$M+N$；(2)$2M-N$。
(1)$(3m+n)+(2m-2n)$；
(2)$(-5x+7xy+12y^2)-(4x-5xy-6y^2)$。
举一反三 设$M=-a+3b$，$N=3a+b$，化简下列各式：
(1)$M+N$；(2)$2M-N$。
答案
解 (1)$M+N=(-a+3b)+(3a+b)=-a+3b+3a+b=2a+4b$。
(2)$2M-N=2(-a+3b)-(3a+b)=-2a+6b-3a-b=-5a+5b$。
(2)$2M-N=2(-a+3b)-(3a+b)=-2a+6b-3a-b=-5a+5b$。
解析
【分析】
本题考查整式的加减运算，解题思路分为三步：①代入：将M、N所对应的代数式准确代入所求式子，当代入的式子前有系数或负号时，要先给整个代数式加上括号，避免符号或运算错误；②去括号：根据去括号法则运算，括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，若括号前有系数，需要将系数乘到括号内的每一项；③合并同类项：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
(1) 计算$M+N$，将$M=-a+3b$，$N=3a+b$代入得：
$\begin{aligned}M+N&=(-a+3b)+(3a+b)\\&=-a+3b+3a+b\\&=(-a+3a)+(3b+b)\\&=2a+4b\end{aligned}$
(2) 计算$2M-N$，代入$M=-a+3b$，$N=3a+b$得：
$\begin{aligned}2M-N&=2(-a+3b)-(3a+b)\\&=-2a+6b-3a-b\\&=(-2a-3a)+(6b-b)\\&=-5a+5b\end{aligned}$
【答案】
(1)$2a+4b$；(2)$-5a+5b$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心是掌握去括号的符号规则和合并同类项的方法，做题时要注意避免漏乘括号前的系数、去括号时符号出错这两类常见错误，熟练掌握后可为后续复杂的整式运算打好基础。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的加减运算，解题思路分为三步：①代入：将M、N所对应的代数式准确代入所求式子，当代入的式子前有系数或负号时，要先给整个代数式加上括号，避免符号或运算错误；②去括号：根据去括号法则运算，括号前是正号，去括号后括号内各项符号不变；括号前是负号，去括号后括号内各项都变号，若括号前有系数，需要将系数乘到括号内的每一项；③合并同类项：将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
(1) 计算$M+N$，将$M=-a+3b$，$N=3a+b$代入得：
$\begin{aligned}M+N&=(-a+3b)+(3a+b)\\&=-a+3b+3a+b\\&=(-a+3a)+(3b+b)\\&=2a+4b\end{aligned}$
(2) 计算$2M-N$，代入$M=-a+3b$，$N=3a+b$得：
$\begin{aligned}2M-N&=2(-a+3b)-(3a+b)\\&=-2a+6b-3a-b\\&=(-2a-3a)+(6b-b)\\&=-5a+5b\end{aligned}$
【答案】
(1)$2a+4b$；(2)$-5a+5b$
【知识点】
整式的加减、去括号法则、合并同类项
【点评】
本题是整式加减的基础题型，核心是掌握去括号的符号规则和合并同类项的方法，做题时要注意避免漏乘括号前的系数、去括号时符号出错这两类常见错误，熟练掌握后可为后续复杂的整式运算打好基础。
【难度系数】
0.8
