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5.如图,海上有两艘军舰A和B,由A测得B的方向是(
A.南偏东$30°$
B.南偏东$60°$
C.北偏西$30°$
D.北偏西$60°$
B
)。A.南偏东$30°$
B.南偏东$60°$
C.北偏西$30°$
D.北偏西$60°$
答案
5.B
解析
【分析】
解题首先要明确观测点是A，方位遵循“上北下南、左西右东”的判定规则。首先确定B在A的东南方向区域，再利用A、B两点的水平方向线互相平行的性质，得到AB与A点正东方向的夹角等于图中标注的30°，最后结合正东和正南的夹角为90°，计算出AB与正南方向的夹角，即可得到方向描述。
【解析】
1. 确定观测点为A，方位判定规则为“上北下南，左西右东”，可知B位于A的东南侧。
2. 过A的正东方向水平线与过B的正西方向水平线互相平行，根据平行线内错角相等的性质，可得线段AB与A点正东方向的夹角为30°。
3. 正东方向与正南方向的夹角为90°，因此线段AB与A点正南方向的夹角为：$90°-30°=60°$。
4. 综上，由A测得B的方向是南偏东$60°$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
方向角判定，平行线的性质，方位坐标规则
【点评】
本题是方位角的常见基础题型，解题的核心是先找准观测点，避免混淆观测点和被观测点的位置，再结合几何性质计算夹角即可，要注意方向角的表述规范。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确观测点是A，方位遵循“上北下南、左西右东”的判定规则。首先确定B在A的东南方向区域，再利用A、B两点的水平方向线互相平行的性质，得到AB与A点正东方向的夹角等于图中标注的30°，最后结合正东和正南的夹角为90°，计算出AB与正南方向的夹角，即可得到方向描述。
【解析】
1. 确定观测点为A，方位判定规则为“上北下南，左西右东”，可知B位于A的东南侧。
2. 过A的正东方向水平线与过B的正西方向水平线互相平行，根据平行线内错角相等的性质，可得线段AB与A点正东方向的夹角为30°。
3. 正东方向与正南方向的夹角为90°，因此线段AB与A点正南方向的夹角为：$90°-30°=60°$。
4. 综上，由A测得B的方向是南偏东$60°$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
方向角判定，平行线的性质，方位坐标规则
【点评】
本题是方位角的常见基础题型，解题的核心是先找准观测点，避免混淆观测点和被观测点的位置，再结合几何性质计算夹角即可，要注意方向角的表述规范。
【难度系数】
0.8
6.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，下列各式正确的是（
A.$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOB$
B.$∠ AOD=\frac{2}{3}∠ AOB$
C.$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOD$
D.$∠ BOC=\frac{2}{3}∠ AOD$
D
）。A.$∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOB$
B.$∠ AOD=\frac{2}{3}∠ AOB$
C.$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOD$
D.$∠ BOC=\frac{2}{3}∠ AOD$
答案
6.D
解析
【分析】
我们可以通过设未知角的方法简化推导过程，解题思路如下：首先根据角平分线的性质，将所有相关角用同一个未知数表示，再把各选项中的角替换为含未知数的表达式，逐一验证等式是否成立。第一步先利用OD平分∠BOC得到∠BOD和∠COD相等，再利用OC平分∠AOB得到∠AOC和∠BOC相等，设最小的∠COD为x，即可推出所有角的度数表达式。
【解析】
设$∠ COD=x$，
$\because$OD是$∠ BOC$的平分线，
$\therefore ∠ BOD=∠ COD=x$，$∠ BOC=∠ BOD+∠ COD=2x$，
又$\because$OC是$∠ AOB$的平分线，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC=2x$，$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=4x$，
且$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=2x+x=3x$。
逐一验证选项：
A选项：$∠ COD=x$，$\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×4x=2x$，$x≠2x$，故A错误；
B选项：$∠ AOD=3x$，$\frac{2}{3}∠ AOB=\frac{2}{3}×4x=\frac{8}{3}x$，$3x≠\frac{8}{3}x$，故B错误；
C选项：$∠ BOD=x$，$\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×3x=1.5x$，$x≠1.5x$，故C错误；
D选项：$∠ BOC=2x$，$\frac{2}{3}∠ AOD=\frac{2}{3}×3x=2x$，两者相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于角的运算的基础题型，核心考查对角平分线性质的运用，通过设未知数的方法可以理清各角之间的数量关系，降低推导出错的概率。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知角的方法简化推导过程，解题思路如下：首先根据角平分线的性质，将所有相关角用同一个未知数表示，再把各选项中的角替换为含未知数的表达式，逐一验证等式是否成立。第一步先利用OD平分∠BOC得到∠BOD和∠COD相等，再利用OC平分∠AOB得到∠AOC和∠BOC相等，设最小的∠COD为x，即可推出所有角的度数表达式。
【解析】
设$∠ COD=x$，
$\because$OD是$∠ BOC$的平分线，
$\therefore ∠ BOD=∠ COD=x$，$∠ BOC=∠ BOD+∠ COD=2x$，
又$\because$OC是$∠ AOB$的平分线，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC=2x$，$∠ AOB=∠ AOC+∠ BOC=4x$，
且$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=2x+x=3x$。
逐一验证选项：
A选项：$∠ COD=x$，$\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×4x=2x$，$x≠2x$，故A错误；
B选项：$∠ AOD=3x$，$\frac{2}{3}∠ AOB=\frac{2}{3}×4x=\frac{8}{3}x$，$3x≠\frac{8}{3}x$，故B错误；
C选项：$∠ BOD=x$，$\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×3x=1.5x$，$x≠1.5x$，故C错误；
D选项：$∠ BOC=2x$，$\frac{2}{3}∠ AOD=\frac{2}{3}×3x=2x$，两者相等，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题属于角的运算的基础题型，核心考查对角平分线性质的运用，通过设未知数的方法可以理清各角之间的数量关系，降低推导出错的概率。
【难度系数】
0.7
7.钟表显示10时30分时,时针与分针的夹角为
135°
。答案
7. 135°
解析
【分析】
解决钟表夹角问题首先要明确表盘基本特征：整个表盘是周角360°，被平均分成12个大格，因此每个大格对应角度为360°÷12=30°。接下来确定10时30分两根指针的位置：①分针走30分钟时正好指向数字6；②时针每1小时走1个大格，30分钟为半小时，所以时针会从数字10向11移动半个大格，停在10和11的正中间。最后计算两根指针的间隔大格数，乘每个大格的度数即可得到夹角。
【解析】
解：
∵ 钟表表盘为周角360°，平均分为12个大格
∴ 每个大格的度数为：$360° ÷ 12 = 30°$
10时30分时，分针指向数字6，时针指向10和11的中点，
两针间隔的大格数为：$10.5 - 6 = 4.5$（个）
则时针与分针的夹角为：$4.5 × 30° = 135°$
【答案】
$135°$
【知识点】
钟面角计算、角的运算
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，易错点是忽略时针会随分钟推移移动，误将时针位置当作正好指向10得到120°的错误结果，掌握时针、分针的转动规律是解题核心。
【难度系数】
0.7
解决钟表夹角问题首先要明确表盘基本特征：整个表盘是周角360°，被平均分成12个大格，因此每个大格对应角度为360°÷12=30°。接下来确定10时30分两根指针的位置：①分针走30分钟时正好指向数字6；②时针每1小时走1个大格，30分钟为半小时，所以时针会从数字10向11移动半个大格，停在10和11的正中间。最后计算两根指针的间隔大格数，乘每个大格的度数即可得到夹角。
【解析】
解：
∵ 钟表表盘为周角360°，平均分为12个大格
∴ 每个大格的度数为：$360° ÷ 12 = 30°$
10时30分时，分针指向数字6，时针指向10和11的中点，
两针间隔的大格数为：$10.5 - 6 = 4.5$（个）
则时针与分针的夹角为：$4.5 × 30° = 135°$
【答案】
$135°$
【知识点】
钟面角计算、角的运算
【点评】
本题是钟面角计算的基础题型，易错点是忽略时针会随分钟推移移动，误将时针位置当作正好指向10得到120°的错误结果，掌握时针、分针的转动规律是解题核心。
【难度系数】
0.7
8.如图，AB和CD都是直线，∠AOE = 90°,∠3 = ∠FOD,∠1 = 27°20′,求∠2，∠3的度数。
答案
8.解:因为$∠AOE=90°$，
所以$∠2=90°-∠1=90°-27°20'=62°40'$。
因为$∠AOD=180°-∠1=180°-27°20'=152°40',∠3=∠FOD$，
所以$∠3=\frac{1}{2}∠AOD=76°20'$。
所以$∠2=90°-∠1=90°-27°20'=62°40'$。
因为$∠AOD=180°-∠1=180°-27°20'=152°40',∠3=∠FOD$，
所以$∠3=\frac{1}{2}∠AOD=76°20'$。
解析
【分析】
解题思路如下：第一步先求∠2：由已知∠AOE=90°，可知∠1和∠2互余，两角和为90°，因此用90°减去∠1的度数即可得到∠2；第二步求∠3：首先CD为直线，∠1和∠AOD是邻补角，和为180°，先计算出∠AOD的度数，再结合已知∠3=∠FOD，说明OF平分∠AOD，因此∠3等于∠AOD的一半，代入计算即可求出∠3的度数，计算时注意度分是60进制。
【解析】
解：
∵ ∠AOE = 90°，
∴ ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 27°20′ = 62°40′。
∵ CD是直线，
∴ ∠AOD = 180° - ∠1 = 180° - 27°20′ = 152°40′，
又
∵ ∠3 = ∠FOD，
∴ ∠3 = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×152°40′ = 76°20′。
【答案】
∠2=62°40′，∠3=76°20′
【知识点】
角的和差计算；邻补角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于角的计算的基础题型，解题核心是准确识别图中各角的位置关系，结合垂直、邻补角、角平分线的性质逐步推导，计算时要注意度分的60进制换算规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：第一步先求∠2：由已知∠AOE=90°，可知∠1和∠2互余，两角和为90°，因此用90°减去∠1的度数即可得到∠2；第二步求∠3：首先CD为直线，∠1和∠AOD是邻补角，和为180°，先计算出∠AOD的度数，再结合已知∠3=∠FOD，说明OF平分∠AOD，因此∠3等于∠AOD的一半，代入计算即可求出∠3的度数，计算时注意度分是60进制。
【解析】
解：
∵ ∠AOE = 90°，
∴ ∠2 = 90° - ∠1 = 90° - 27°20′ = 62°40′。
∵ CD是直线，
∴ ∠AOD = 180° - ∠1 = 180° - 27°20′ = 152°40′，
又
∵ ∠3 = ∠FOD，
∴ ∠3 = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×152°40′ = 76°20′。
【答案】
∠2=62°40′，∠3=76°20′
【知识点】
角的和差计算；邻补角的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于角的计算的基础题型，解题核心是准确识别图中各角的位置关系，结合垂直、邻补角、角平分线的性质逐步推导，计算时要注意度分的60进制换算规则，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
9.将一张多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是（
A.5
B.6
C.7
D.8
D
）。A.5
B.6
C.7
D.8
答案
9.D
解析
【分析】解决本题需要先明确多边形沿直线剪下一个三角形时，剪切线的位置不同，剩下图形的边数变化也不同，我们可以根据剩下的图形是六边形，反向分类推导原多边形的边数：①剪切线经过原多边形2个顶点；②剪切线经过原多边形1个顶点和1条边的非顶点处；③剪切线不经过原多边形顶点、与两条边相交，结合三种情况的边数变化规律即可判断原多边形不可能的边数。
【解析】我们分三种情况讨论剪切后得到六边形对应的原多边形边数：
1. 若剪切线经过原多边形的2个顶点：此时剪下三角形后，剩下的图形边数比原多边形少1。已知剩下的是六边形，因此原多边形边数为 $6+1=7$；
2. 若剪切线经过原多边形的1个顶点，且与另一条边相交于非顶点位置：此时剪下三角形后，剩下的图形边数与原多边形边数相等，因此原多边形边数为 $6$；
3. 若剪切线不经过原多边形的任何顶点，且与原多边形的两条边相交：此时剪下三角形后，剩下的图形边数比原多边形多1，因此原多边形边数为 $6-1=5$。
综上，原多边形的边数可能为5、6、7，不可能是8，故选D。
【答案】D
【知识点】多边形的基本概念；图形剪拼的边数变化
【点评】本题考查多边形剪切后的边数变化规律，解题核心是对剪切线的位置进行分类讨论，避免因考虑不全面导致错选，是常见的易混题型。
【难度系数】0.6
【解析】我们分三种情况讨论剪切后得到六边形对应的原多边形边数：
1. 若剪切线经过原多边形的2个顶点：此时剪下三角形后，剩下的图形边数比原多边形少1。已知剩下的是六边形，因此原多边形边数为 $6+1=7$；
2. 若剪切线经过原多边形的1个顶点，且与另一条边相交于非顶点位置：此时剪下三角形后，剩下的图形边数与原多边形边数相等，因此原多边形边数为 $6$；
3. 若剪切线不经过原多边形的任何顶点，且与原多边形的两条边相交：此时剪下三角形后，剩下的图形边数比原多边形多1，因此原多边形边数为 $6-1=5$。
综上，原多边形的边数可能为5、6、7，不可能是8，故选D。
【答案】D
【知识点】多边形的基本概念；图形剪拼的边数变化
【点评】本题考查多边形剪切后的边数变化规律，解题核心是对剪切线的位置进行分类讨论，避免因考虑不全面导致错选，是常见的易混题型。
【难度系数】0.6
10.如图，阴影部分扇形的圆心角度数是
（第10题）
36°
。（第10题）答案
10. 36°
解析
【分析】
要计算阴影部分扇形的圆心角度数，需结合扇形统计图的性质推导：首先扇形统计图中所有部分的百分比之和为100%，整个圆对应的圆心角是360°。解题时先求出阴影部分占整体的百分比，再用总圆心角乘该百分比即可得到对应圆心角度数。
【解析】
第一步：计算阴影部分占整体的百分比
$1 - 64\% - 26\% = 10\%$
第二步：计算阴影部分的圆心角度数
因为扇形统计图总圆心角为$360°$，所以阴影部分圆心角为：
$360° × 10\% = 36°$
【答案】
$36°$
【知识点】
扇形统计图特征；百分数运算；圆心角度数计算
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用题，核心考查部分占比与对应圆心角的换算关系，掌握扇形统计图的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算阴影部分扇形的圆心角度数，需结合扇形统计图的性质推导：首先扇形统计图中所有部分的百分比之和为100%，整个圆对应的圆心角是360°。解题时先求出阴影部分占整体的百分比，再用总圆心角乘该百分比即可得到对应圆心角度数。
【解析】
第一步：计算阴影部分占整体的百分比
$1 - 64\% - 26\% = 10\%$
第二步：计算阴影部分的圆心角度数
因为扇形统计图总圆心角为$360°$，所以阴影部分圆心角为：
$360° × 10\% = 36°$
【答案】
$36°$
【知识点】
扇形统计图特征；百分数运算；圆心角度数计算
【点评】
本题是扇形统计图的基础应用题，核心考查部分占比与对应圆心角的换算关系，掌握扇形统计图的基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11.如图,在三角形广场ABC的三个角处各建一个半径相等的扇形草坪,草坪的半径为20 m,求草坪的总面积。(结果保留π)
答案
11.解:$S_{\mathrm{草坪}}=\frac{180π×20^2}{360}=200π(\mathrm{m}^2)$，
故草坪的总面积为$200π\ \mathrm{m}^2$。
故草坪的总面积为$200π\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
解题时先明确所求的是三个半径相等的扇形面积之和：首先，三个扇形的圆心角恰好是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和为180°，可得三个扇形的圆心角总和为180°；又因为三个扇形半径相等，所以可以将三个扇形的面积之和转化为圆心角为180°、半径为20m的单个扇形的面积来计算，代入扇形面积公式即可求出结果。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为180°，且三个扇形的半径均为20 m，
∴三个扇形的面积和等于圆心角为180°、半径为20 m的扇形的面积。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=180，r=20得：
$S_{\mathrm{草坪}}=\frac{180π×20^2}{360}=\frac{180π×400}{360}=200π(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$200π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
三角形内角和，扇形面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题不需要分别计算三个扇形的面积，只需利用三角形内角和得到三个扇形圆心角的和，将零散的面积转化为单个扇形的面积求解，简化了计算过程，是组合图形面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先明确所求的是三个半径相等的扇形面积之和：首先，三个扇形的圆心角恰好是三角形ABC的三个内角，根据三角形内角和为180°，可得三个扇形的圆心角总和为180°；又因为三个扇形半径相等，所以可以将三个扇形的面积之和转化为圆心角为180°、半径为20m的单个扇形的面积来计算，代入扇形面积公式即可求出结果。
【解析】
解：
∵三角形的内角和为180°，且三个扇形的半径均为20 m，
∴三个扇形的面积和等于圆心角为180°、半径为20 m的扇形的面积。
根据扇形面积公式$S=\frac{nπr^2}{360}$（n为圆心角度数，r为扇形半径），代入n=180，r=20得：
$S_{\mathrm{草坪}}=\frac{180π×20^2}{360}=\frac{180π×400}{360}=200π(\mathrm{m}^2)$
【答案】
$200π\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
三角形内角和，扇形面积计算，组合图形面积计算
【点评】
本题不需要分别计算三个扇形的面积，只需利用三角形内角和得到三个扇形圆心角的和，将零散的面积转化为单个扇形的面积求解，简化了计算过程，是组合图形面积计算的典型题型。
【难度系数】
0.7
12.观察下面的图形，并阅读图形下面的相关文字：
四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条。
通过分析上面的材料，请你说说十边形的对角线有多少条。你能总结出n边形的对角线有多少条吗？
四边形的对角线有2条，五边形的对角线有5条，六边形的对角线有9条。
通过分析上面的材料，请你说说十边形的对角线有多少条。你能总结出n边形的对角线有多少条吗？
答案
12.解:十边形的对角线有$\frac{10×(10-3)}{2}=5×7=35$(条),$n$边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条。
解析
【分析】
我们可以从多边形顶点的性质入手思考：①首先明确对角线是连接多边形不相邻两个顶点的线段，对于n边形的任意一个顶点，它不能和自身连对角线，也不能和左右相邻的2个顶点连对角线，因此每个顶点能连(n-3)条对角线；②如果直接用顶点总数n乘每个顶点的对角线条数(n-3)，每条对角线会被它的两个端点各计算1次，总数量被重复计算了一遍，所以最后要除以2得到实际的对角线条数。我们可以先用题目给出的四边形、五边形、六边形验证思路是否正确，确认后再代入n=10计算十边形的对角线，最后总结n边形的通用公式。
【解析】
解：第一步，推导n边形对角线公式：
n边形共有n个顶点，每个顶点可连接的不相邻顶点数为$n-1$（排除自身）$-2$（排除相邻两个顶点）$=n-3$个，即每个顶点对应$(n-3)$条对角线。
n个顶点共可得到$n(n-3)$条线段，由于每条对角线被两个顶点各计算1次，因此实际对角线总条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。
第二步，验证公式：
当$n=4$（四边形）时，$\frac{4×(4-3)}{2}=2$，和题目给出的数量一致；
当$n=5$（五边形）时，$\frac{5×(5-3)}{2}=5$，和题目给出的数量一致；
当$n=6$（六边形）时，$\frac{6×(6-3)}{2}=9$，和题目给出的数量一致，公式成立。
第三步，计算十边形对角线条数：
当$n=10$时，对角线数量为$\frac{10×(10-3)}{2}=\frac{10×7}{2}=35$条。
【答案】
十边形的对角线有35条，n边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条。
【知识点】
多边形的对角线；规律探究；代数式运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是理解对角线的定义，理清计数时避免重复计算的逻辑，掌握该公式后可以快速求解任意多边形的对角线条数。
【难度系数】
0.7
我们可以从多边形顶点的性质入手思考：①首先明确对角线是连接多边形不相邻两个顶点的线段，对于n边形的任意一个顶点，它不能和自身连对角线，也不能和左右相邻的2个顶点连对角线，因此每个顶点能连(n-3)条对角线；②如果直接用顶点总数n乘每个顶点的对角线条数(n-3)，每条对角线会被它的两个端点各计算1次，总数量被重复计算了一遍，所以最后要除以2得到实际的对角线条数。我们可以先用题目给出的四边形、五边形、六边形验证思路是否正确，确认后再代入n=10计算十边形的对角线，最后总结n边形的通用公式。
【解析】
解：第一步，推导n边形对角线公式：
n边形共有n个顶点，每个顶点可连接的不相邻顶点数为$n-1$（排除自身）$-2$（排除相邻两个顶点）$=n-3$个，即每个顶点对应$(n-3)$条对角线。
n个顶点共可得到$n(n-3)$条线段，由于每条对角线被两个顶点各计算1次，因此实际对角线总条数为$\frac{n(n-3)}{2}$。
第二步，验证公式：
当$n=4$（四边形）时，$\frac{4×(4-3)}{2}=2$，和题目给出的数量一致；
当$n=5$（五边形）时，$\frac{5×(5-3)}{2}=5$，和题目给出的数量一致；
当$n=6$（六边形）时，$\frac{6×(6-3)}{2}=9$，和题目给出的数量一致，公式成立。
第三步，计算十边形对角线条数：
当$n=10$时，对角线数量为$\frac{10×(10-3)}{2}=\frac{10×7}{2}=35$条。
【答案】
十边形的对角线有35条，n边形的对角线有$\frac{n(n-3)}{2}$条。
【知识点】
多边形的对角线；规律探究；代数式运算
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题的核心是理解对角线的定义，理清计数时避免重复计算的逻辑，掌握该公式后可以快速求解任意多边形的对角线条数。
【难度系数】
0.7
