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1. 下列函数是二次函数的有(
①$y=3-\sqrt{3}x^2$；②$y=\frac{2}{x^2}$；③$y=x(3-5x)$；④$y=(1+2x)(1-2x)+4x^2$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)。①$y=3-\sqrt{3}x^2$；②$y=\frac{2}{x^2}$；③$y=x(3-5x)$；④$y=(1+2x)(1-2x)+4x^2$
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. B
解析
【分析】
要判断给定函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，需满足三个条件：一是函数表达式为整式，二是自变量的最高次数为2，三是二次项系数不为0。解题时需先将每个函数表达式化简，再对照三个条件逐一判断即可。
【解析】
我们根据二次函数的定义逐个判断：
① $y=3-\sqrt{3}x^2$：化简后为$y=-\sqrt{3}x^2+0x+3$，是整式，自变量最高次数为2，且二次项系数$-\sqrt{3}≠0$，属于二次函数；
② $y=\frac{2}{x^2}$：表达式是分式，不属于整式函数，因此不是二次函数；
③ $y=x(3-5x)$：展开化简得$y=-5x^2+3x$，是整式，自变量最高次数为2，二次项系数$-5≠0$，属于二次函数；
④ $y=(1+2x)(1-2x)+4x^2$：展开计算得$y=1-4x^2+4x^2=1$，化简后没有二次项，是常数函数，不属于二次函数。
综上，是二次函数的有①和③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义，整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的识别，解题的易错点是未先化简函数表达式直接判断，或者忽略二次函数是整式函数的要求，熟练掌握二次函数的定义是正确解题的前提。
【难度系数】
0.75
要判断给定函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数是二次函数，需满足三个条件：一是函数表达式为整式，二是自变量的最高次数为2，三是二次项系数不为0。解题时需先将每个函数表达式化简，再对照三个条件逐一判断即可。
【解析】
我们根据二次函数的定义逐个判断：
① $y=3-\sqrt{3}x^2$：化简后为$y=-\sqrt{3}x^2+0x+3$，是整式，自变量最高次数为2，且二次项系数$-\sqrt{3}≠0$，属于二次函数；
② $y=\frac{2}{x^2}$：表达式是分式，不属于整式函数，因此不是二次函数；
③ $y=x(3-5x)$：展开化简得$y=-5x^2+3x$，是整式，自变量最高次数为2，二次项系数$-5≠0$，属于二次函数；
④ $y=(1+2x)(1-2x)+4x^2$：展开计算得$y=1-4x^2+4x^2=1$，化简后没有二次项，是常数函数，不属于二次函数。
综上，是二次函数的有①和③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义，整式的化简
【点评】
本题考查二次函数的识别，解题的易错点是未先化简函数表达式直接判断，或者忽略二次函数是整式函数的要求，熟练掌握二次函数的定义是正确解题的前提。
【难度系数】
0.75
2. 若函数$y=(k-2)x^{k^2 -k}$是关于$x$的二次函数，则一次函数$y=kx -1$的图象不经过第
一
象限。答案
2. 一
解析
【分析】
要解决这道题，首先需根据二次函数的定义求出k的取值：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不为0。求出k的值后，将其代入一次函数解析式，再根据一次函数中k、b的符号判断函数图象经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
解：
∵函数$y=(k-2)x^{k^2 -k}$是关于$x$的二次函数
∴根据二次函数的定义可得：
$\begin{cases}k^2 -k = 2 \quad \mathrm{①} \\k - 2 ≠ 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解方程①：整理得$k^2 -k -2 = 0$，因式分解得$(k-2)(k+1)=0$，解得$k=2$或$k=-1$
由不等式②得$k ≠ 2$，因此$k=-1$
将$k=-1$代入一次函数$y=kx -1$，得解析式为$y=-x -1$
在一次函数$y=-x -1$中，$k=-1＜0$，函数图象从左到右下降；$b=-1＜0$，函数图象与y轴交于负半轴，因此该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需注意不要忽略二次项系数不为0的限制条件，避免错误求出k=2导致后续判断失误，熟练掌握一次函数图象与系数的对应关系是快速判断象限的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需根据二次函数的定义求出k的取值：二次函数需满足两个核心条件，一是自变量的最高次数为2，二是二次项的系数不为0。求出k的值后，将其代入一次函数解析式，再根据一次函数中k、b的符号判断函数图象经过的象限，即可得出不经过的象限。
【解析】
解：
∵函数$y=(k-2)x^{k^2 -k}$是关于$x$的二次函数
∴根据二次函数的定义可得：
$\begin{cases}k^2 -k = 2 \quad \mathrm{①} \\k - 2 ≠ 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解方程①：整理得$k^2 -k -2 = 0$，因式分解得$(k-2)(k+1)=0$，解得$k=2$或$k=-1$
由不等式②得$k ≠ 2$，因此$k=-1$
将$k=-1$代入一次函数$y=kx -1$，得解析式为$y=-x -1$
在一次函数$y=-x -1$中，$k=-1＜0$，函数图象从左到右下降；$b=-1＜0$，函数图象与y轴交于负半轴，因此该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限。
【答案】
一
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需注意不要忽略二次项系数不为0的限制条件，避免错误求出k=2导致后续判断失误，熟练掌握一次函数图象与系数的对应关系是快速判断象限的关键。
【难度系数】
0.7
3. 某旅行社为吸引游客到某景区旅游，推出如下收费标准：
若某公司准备组织$x(25 ＜ x≤40)$名员工去该景区旅游，则公司需支付给这个旅行社的旅游费用$y$(元)与该公司参与本次旅游的员工人数$x$之间的关系式是
若某公司准备组织$x(25 ＜ x≤40)$名员工去该景区旅游，则公司需支付给这个旅行社的旅游费用$y$(元)与该公司参与本次旅游的员工人数$x$之间的关系式是
$y = -20x^2 + 1 500x(25 ＜ x≤40,x 为整数)$
。答案
3. $y = -20x^2 + 1 500x(25 ＜ x≤40,x 为整数)$
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的人数范围是$25 ＜ x≤40$，符合“人数超过25”的收费规则。首先计算该人数区间内的人均旅游费用：超过25人的部分为$(x-25)$人，人均费用在1000元的基础上降低$20(x-25)$元，先验证$x=40$时，人均费用为$1000-20×(40-25)=700$元，刚好满足人均不低于700元的要求，因此该区间内人均费用可直接按规则计算，再根据总费用=人数×人均费用，代入化简即可得到函数关系式。
【解析】
解：$\because 25 ＜ x≤40$，
$\therefore$ 超过25人的人数为$(x-25)$人，
人均旅游费用为：$1000 - 20(x-25) = 1000 -20x +500 = 1500 -20x$（元），
验证$x=40$时，人均费用$=1500-20×40=700$元，符合人均费用不低于700元的要求，
总旅游费用$y=$人数×人均费用，即：
$y = x(1500 -20x) = -20x^2 +1500x$，
其中自变量取值为$25 ＜ x≤40$，且$x$为正整数。
【答案】
$y = -20x^2 + 1 500x(25 ＜ x≤40,x 为整数)$
【知识点】
列函数解析式；二次函数实际应用；分段计费问题
【点评】
本题结合生活中的收费场景考查函数关系式的列法，解题的关键是先根据人数范围确定对应的人均费用计算规则，验证人均费用符合限制要求后，结合总费用的计算逻辑列式化简即可，注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出的人数范围是$25 ＜ x≤40$，符合“人数超过25”的收费规则。首先计算该人数区间内的人均旅游费用：超过25人的部分为$(x-25)$人，人均费用在1000元的基础上降低$20(x-25)$元，先验证$x=40$时，人均费用为$1000-20×(40-25)=700$元，刚好满足人均不低于700元的要求，因此该区间内人均费用可直接按规则计算，再根据总费用=人数×人均费用，代入化简即可得到函数关系式。
【解析】
解：$\because 25 ＜ x≤40$，
$\therefore$ 超过25人的人数为$(x-25)$人，
人均旅游费用为：$1000 - 20(x-25) = 1000 -20x +500 = 1500 -20x$（元），
验证$x=40$时，人均费用$=1500-20×40=700$元，符合人均费用不低于700元的要求，
总旅游费用$y=$人数×人均费用，即：
$y = x(1500 -20x) = -20x^2 +1500x$，
其中自变量取值为$25 ＜ x≤40$，且$x$为正整数。
【答案】
$y = -20x^2 + 1 500x(25 ＜ x≤40,x 为整数)$
【知识点】
列函数解析式；二次函数实际应用；分段计费问题
【点评】
本题结合生活中的收费场景考查函数关系式的列法，解题的关键是先根据人数范围确定对应的人均费用计算规则，验证人均费用符合限制要求后，结合总费用的计算逻辑列式化简即可，注意不要遗漏自变量的取值范围。
【难度系数】
0.7
4. 一个菱形的边长为$x\ \mathrm{cm}$，它的面积为$y\ \mathrm{cm}^2$。
(1)当一个内角为$60°$时，写出$y$与$x$之间的关系式。
(2)当一个内角为$45°$时，写出$y$与$x$之间的关系式。
(1)当一个内角为$60°$时，写出$y$与$x$之间的关系式。
(2)当一个内角为$45°$时，写出$y$与$x$之间的关系式。
答案
(1) $y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2$
(2) $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x^2$
(2) $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x^2$
解析
【分析】
要推导菱形面积y与边长x的关系式，核心是利用菱形面积=底×高的计算公式。我们可将菱形的一条边作为底，长度为x，再结合给出的内角度数求出底边上的高：过菱形顶点向底边作高，得到的直角三角形斜边为菱形边长x，高可通过锐角三角函数（或特殊直角三角形的边长关系）求出，最后代入面积公式即可得到y与x的关系式。
【解析】
(1) 当菱形一个内角为60°时：
将菱形的一条边作为底，底长为x cm。过顶点向该底边作高，得到的直角三角形中，一个锐角为60°，则高$h_1 = x·\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}x$。
根据菱形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{底}×\mathrm{高}$，代入得：
$y = x × \frac{\sqrt{3}}{2}x = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2$。
(2) 当菱形一个内角为45°时：
同理，底长为x cm，底边上的高$h_2 = x·\sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}x$。
代入面积公式得：
$y = x × \frac{\sqrt{2}}{2}x = \frac{\sqrt{2}}{2}x^2$。
【答案】
(1) $y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2$
(2) $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x^2$
【知识点】
菱形面积计算，锐角三角函数，列函数关系式
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题的关键是熟练掌握菱形面积公式和特殊角的三角函数值，通过构造直角三角形求出菱形的高即可顺利求解，计算时要注意特殊角三角函数值不要记混。
【难度系数】
0.7
要推导菱形面积y与边长x的关系式，核心是利用菱形面积=底×高的计算公式。我们可将菱形的一条边作为底，长度为x，再结合给出的内角度数求出底边上的高：过菱形顶点向底边作高，得到的直角三角形斜边为菱形边长x，高可通过锐角三角函数（或特殊直角三角形的边长关系）求出，最后代入面积公式即可得到y与x的关系式。
【解析】
(1) 当菱形一个内角为60°时：
将菱形的一条边作为底，底长为x cm。过顶点向该底边作高，得到的直角三角形中，一个锐角为60°，则高$h_1 = x·\sin60° = \frac{\sqrt{3}}{2}x$。
根据菱形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{底}×\mathrm{高}$，代入得：
$y = x × \frac{\sqrt{3}}{2}x = \frac{\sqrt{3}}{2}x^2$。
(2) 当菱形一个内角为45°时：
同理，底长为x cm，底边上的高$h_2 = x·\sin45° = \frac{\sqrt{2}}{2}x$。
代入面积公式得：
$y = x × \frac{\sqrt{2}}{2}x = \frac{\sqrt{2}}{2}x^2$。
【答案】
(1) $y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2$
(2) $y=\frac{\sqrt{2}}{2}x^2$
【知识点】
菱形面积计算，锐角三角函数，列函数关系式
【点评】
本题属于基础应用类题型，解题的关键是熟练掌握菱形面积公式和特殊角的三角函数值，通过构造直角三角形求出菱形的高即可顺利求解，计算时要注意特殊角三角函数值不要记混。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在平面直角坐标系中,$AB = OB = 8$,$∠ ABO = 90°$,$∠ 1 = 45°$,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动。设平行移动$x$ s后,射线OC扫过$\mathrm{Rt}△ ABO$的面积为$y$,求$y$与$x$之间的关系式。
答案
5. 如图,
∵ AB = OB, ∠ABO = 90°,
∴ △ABO是等腰直角三角形。
∴ ∠AOB = 45°。
∵ ∠1 = 45°,
∴ ∠AOC = ∠1 + ∠2 = 90°−45°+45° = 90°。
∴ AO ⊥ CO。
∵ C'O' 是 CO 平移得到的,
∴ AO ⊥ C' O'。
∴ △OO'G是等腰直角三角形。
∵ 射线 OC 的平行移动速度是每秒2个单位长度,
∴ OO' = 2x。
∴ 其以 OO' 为底边的高为 x。
∴ $y=\frac{1}{2} × (2x) · x = x^2(0 ＜ x ≤ 4)$
解析
【分析】
解题时先从已知的边长和角度条件入手：首先由AB=OB、∠ABO=90°可判定△ABO是等腰直角三角形，得到∠AOB=45°，结合∠1=45°可推出射线OC与AO垂直；再根据平移的性质，平移后的射线与原射线平行，因此也和AO垂直，可知射线扫过△ABO的区域是等腰直角三角形；接下来根据平移速度得到平移距离，结合等腰直角三角形的面积公式即可求出y与x的关系式，最后根据运动停止的条件确定x的取值范围。
【解析】
解：
∵ AB = OB，∠ABO = 90°，
∴ △ABO是等腰直角三角形，
∴ ∠AOB = 45°。
∵ ∠1 = 45°，
∴ ∠AOC = ∠1 + ∠AOB = 45° + 45° = 90°，即AO⊥CO。
∵ 射线O'C'是CO平移得到的，
∴ O'C'//CO，
∴ AO⊥O'C'，
∴ △OO'G是等腰直角三角形。
∵ 射线OC的平移速度为每秒2个单位长度，平移时间为x s，
∴ 平移距离OO' = 2x，
等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，因此△OO'G的高为$\frac{1}{2}×2x = x$。
∴ 扫过的面积$y = S_{△OO'G} = \frac{1}{2}×2x×x = x^2$。
当射线OC经过点B时停止运动，此时OO' = OB = 8，即2x = 8，解得x = 4，结合x＞0，得x的取值范围是$0 ＜ x ≤ 4$。
【答案】
$y=x^2(0 ＜ x ≤ 4)$
【知识点】
平移的性质；等腰直角三角形的判定与性质；动点函数关系式
【点评】
本题是典型的动点几何与函数结合的基础题，解题的核心是准确判断平移后射线扫过的图形形状，结合几何性质计算面积，同时要注意结合运动的实际限制确定自变量的取值范围，避免漏写范围出错。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的边长和角度条件入手：首先由AB=OB、∠ABO=90°可判定△ABO是等腰直角三角形，得到∠AOB=45°，结合∠1=45°可推出射线OC与AO垂直；再根据平移的性质，平移后的射线与原射线平行，因此也和AO垂直，可知射线扫过△ABO的区域是等腰直角三角形；接下来根据平移速度得到平移距离，结合等腰直角三角形的面积公式即可求出y与x的关系式，最后根据运动停止的条件确定x的取值范围。
【解析】
解：
∵ AB = OB，∠ABO = 90°，
∴ △ABO是等腰直角三角形，
∴ ∠AOB = 45°。
∵ ∠1 = 45°，
∴ ∠AOC = ∠1 + ∠AOB = 45° + 45° = 90°，即AO⊥CO。
∵ 射线O'C'是CO平移得到的，
∴ O'C'//CO，
∴ AO⊥O'C'，
∴ △OO'G是等腰直角三角形。
∵ 射线OC的平移速度为每秒2个单位长度，平移时间为x s，
∴ 平移距离OO' = 2x，
等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，因此△OO'G的高为$\frac{1}{2}×2x = x$。
∴ 扫过的面积$y = S_{△OO'G} = \frac{1}{2}×2x×x = x^2$。
当射线OC经过点B时停止运动，此时OO' = OB = 8，即2x = 8，解得x = 4，结合x＞0，得x的取值范围是$0 ＜ x ≤ 4$。
【答案】
$y=x^2(0 ＜ x ≤ 4)$
【知识点】
平移的性质；等腰直角三角形的判定与性质；动点函数关系式
【点评】
本题是典型的动点几何与函数结合的基础题，解题的核心是准确判断平移后射线扫过的图形形状，结合几何性质计算面积，同时要注意结合运动的实际限制确定自变量的取值范围，避免漏写范围出错。
【难度系数】
0.7
