登录
9. 若一直角三角形的两边长分别是3和4，则它的面积为（）
A.5
B.6
C.5或$\frac{3}{2}\sqrt{5}$
D.6或$\frac{3}{2}\sqrt{7}$
A.5
B.6
C.5或$\frac{3}{2}\sqrt{5}$
D.6或$\frac{3}{2}\sqrt{7}$
答案
D
解析
【分析】
题目未明确给出长为4的边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论求解：①当4为直角边时，直接利用直角三角形面积公式计算；②当4为斜边时，先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，再计算面积，注意斜边为直角三角形最长边，因此长为3的边不可能为斜边，无需讨论该情况。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当长为4的边是直角边时，该直角三角形的两条直角边长分别为3和4，
面积 = $\frac{1}{2}×3×4 = 6$；
2. 当长为4的边是斜边时，根据勾股定理，另一条直角边的长度为：
$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$，
此时面积 = $\frac{1}{2}×3×\sqrt{7} = \frac{3}{2}\sqrt{7}$。
综上，该直角三角形的面积为6或$\frac{3}{2}\sqrt{7}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认3和4均为直角边，直接计算得到面积为6从而错选B，解题时要注意审题，若题目未明确说明已知边是直角边还是斜边，需结合斜边为最长边的性质分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
题目未明确给出长为4的边是直角边还是斜边，因此需要分两种情况讨论求解：①当4为直角边时，直接利用直角三角形面积公式计算；②当4为斜边时，先根据勾股定理求出另一条直角边的长度，再计算面积，注意斜边为直角三角形最长边，因此长为3的边不可能为斜边，无需讨论该情况。
【解析】
分两种情况计算：
1. 当长为4的边是直角边时，该直角三角形的两条直角边长分别为3和4，
面积 = $\frac{1}{2}×3×4 = 6$；
2. 当长为4的边是斜边时，根据勾股定理，另一条直角边的长度为：
$\sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$，
此时面积 = $\frac{1}{2}×3×\sqrt{7} = \frac{3}{2}\sqrt{7}$。
综上，该直角三角形的面积为6或$\frac{3}{2}\sqrt{7}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理；直角三角形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是默认3和4均为直角边，直接计算得到面积为6从而错选B，解题时要注意审题，若题目未明确说明已知边是直角边还是斜边，需结合斜边为最长边的性质分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. 若直角三角形的两边长分别为$a$、$b$，且满足$\sqrt{a^2 -6a +9} + |b-4|=0$，则该直角三角形的第三边长为（）
A.5
B.$\sqrt{7}$
C.4
D.5 或$\sqrt{7}$
A.5
B.$\sqrt{7}$
C.4
D.5 或$\sqrt{7}$
答案
D
解析
【分析】
首先根据算术平方根和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，每一项都为0，据此可求出a、b的值；再结合直角三角形边长的不确定性，分已知的两条边均为直角边、较长边为斜边两种情况，利用勾股定理分别计算第三边长即可。
【解析】
先化简已知等式：
$\sqrt{a^2-6a+9}=\sqrt{(a-3)^2}=|a-3|$，因此原等式可化为$|a-3|+|b-4|=0$。
∵ 绝对值具有非负性，即$|a-3|≥0$，$|b-4|≥0$，两个非负数的和为0，则每一项均为0，
∴ $a-3=0$，$b-4=0$，解得$a=3$，$b=4$。
接下来分两种情况讨论直角三角形的第三边：
1. 当3和4均为直角边长时，第三边为斜边，根据勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$；
2. 当4为斜边长，3为直角边长时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$。
综上，该直角三角形的第三边长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略题目未明确已知边是直角边还是斜边，漏算其中一种情况，解题时要注意仔细审题，面对条件不明确的几何题要养成分类讨论的习惯，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先根据算术平方根和绝对值的非负性，两个非负数相加和为0时，每一项都为0，据此可求出a、b的值；再结合直角三角形边长的不确定性，分已知的两条边均为直角边、较长边为斜边两种情况，利用勾股定理分别计算第三边长即可。
【解析】
先化简已知等式：
$\sqrt{a^2-6a+9}=\sqrt{(a-3)^2}=|a-3|$，因此原等式可化为$|a-3|+|b-4|=0$。
∵ 绝对值具有非负性，即$|a-3|≥0$，$|b-4|≥0$，两个非负数的和为0，则每一项均为0，
∴ $a-3=0$，$b-4=0$，解得$a=3$，$b=4$。
接下来分两种情况讨论直角三角形的第三边：
1. 当3和4均为直角边长时，第三边为斜边，根据勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$；
2. 当4为斜边长，3为直角边长时，第三边为另一条直角边，根据勾股定理得：
第三边长$=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$。
综上，该直角三角形的第三边长为5或$\sqrt{7}$。
【答案】
D
【知识点】
非负数的性质，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略题目未明确已知边是直角边还是斜边，漏算其中一种情况，解题时要注意仔细审题，面对条件不明确的几何题要养成分类讨论的习惯，避免漏解。
【难度系数】
0.7
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. $1-\sqrt{2}$的绝对值是.
11. $1-\sqrt{2}$的绝对值是.
答案
$\sqrt{2}-1$
解析
【分析】
解决本题需要用到绝对值的运算性质，首先需判断$1-\sqrt{2}$的正负性：我们已知$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$1＜\sqrt{2}$，可得$1-\sqrt{2}$是负数。根据绝对值的规则，负数的绝对值等于它的相反数，据此即可计算出结果。
【解析】
步骤1：判断$1-\sqrt{2}$的符号
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$1＜\sqrt{2}$，因此$1-\sqrt{2}＜0$，是负数。
步骤2：根据绝对值的性质计算
负数的绝对值是它的相反数，因此：
$\vert 1-\sqrt{2}\vert = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1$
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
绝对值的性质、实数大小比较
【点评】
本题是基础题型，主要考查绝对值的运算，解题核心是先判断待求绝对值的数的正负，再结合绝对值的性质计算，掌握常见无理数的大致范围即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解决本题需要用到绝对值的运算性质，首先需判断$1-\sqrt{2}$的正负性：我们已知$\sqrt{2}\approx1.414$，因此$1＜\sqrt{2}$，可得$1-\sqrt{2}$是负数。根据绝对值的规则，负数的绝对值等于它的相反数，据此即可计算出结果。
【解析】
步骤1：判断$1-\sqrt{2}$的符号
因为$\sqrt{2}\approx1.414$，所以$1＜\sqrt{2}$，因此$1-\sqrt{2}＜0$，是负数。
步骤2：根据绝对值的性质计算
负数的绝对值是它的相反数，因此：
$\vert 1-\sqrt{2}\vert = -(1-\sqrt{2}) = \sqrt{2}-1$
【答案】
$\sqrt{2}-1$
【知识点】
绝对值的性质、实数大小比较
【点评】
本题是基础题型，主要考查绝对值的运算，解题核心是先判断待求绝对值的数的正负，再结合绝对值的性质计算，掌握常见无理数的大致范围即可快速解题。
【难度系数】
0.9
12.已知$a$、$b$为两个连续的整数，且$a＜\sqrt{11}＜b$，则$a+b=\_\_\_\_\_\_$。
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
解题时首先需要估算$\sqrt{11}$的取值范围：根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大，因此我们先找到与11相邻的两个完全平方数，即可确定$\sqrt{11}$介于哪两个连续整数之间，再结合$a＜\sqrt{11}＜b$且$a$、$b$是连续整数的条件，就能求出$a$、$b$的值，最后计算二者的和即可。
【解析】
解：
∵ $9＜11＜16$
∴ $\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$
即 $3＜\sqrt{11}＜4$
∵ $a$、$b$为连续整数，且满足$a＜\sqrt{11}＜b$
∴ $a=3$，$b=4$
∴ $a+b=3+4=7$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是基础考查题，核心考点为无理数的估算方法，解题的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，以此确定无理数的整数范围，掌握该估算方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
解题时首先需要估算$\sqrt{11}$的取值范围：根据算术平方根的性质，被开方数越大，对应的算术平方根越大，因此我们先找到与11相邻的两个完全平方数，即可确定$\sqrt{11}$介于哪两个连续整数之间，再结合$a＜\sqrt{11}＜b$且$a$、$b$是连续整数的条件，就能求出$a$、$b$的值，最后计算二者的和即可。
【解析】
解：
∵ $9＜11＜16$
∴ $\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$
即 $3＜\sqrt{11}＜4$
∵ $a$、$b$为连续整数，且满足$a＜\sqrt{11}＜b$
∴ $a=3$，$b=4$
∴ $a+b=3+4=7$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 算术平方根的性质
【点评】
本题是基础考查题，核心考点为无理数的估算方法，解题的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数，以此确定无理数的整数范围，掌握该估算方法即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
13. $\sqrt[3]{8}$的算术平方根是.
答案
$\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题需要分两步完成，首先要先化简$\sqrt[3]{8}$，再对化简后的结果求算术平方根。注意不要出现直接对8求算术平方根，或者只算出$\sqrt[3]{8}$就直接填答案的错误。第一步先根据立方根的定义计算$\sqrt[3]{8}$的结果，第二步再根据算术平方根的定义，求第一步所得结果的算术平方根即可。
【解析】
1. 先计算$\sqrt[3]{8}$的值：
根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，因为$2^3=8$，因此$\sqrt[3]{8}=2$。
2. 再求2的算术平方根：
根据算术平方根的定义，非负数的非负平方根为它的算术平方根，因此2的算术平方根为$\sqrt{2}$。
综上，$\sqrt[3]{8}$的算术平方根是$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
立方根的计算；算术平方根的定义
【点评】
本题是基础运算题，易错点是审题不仔细，忽略需要两步运算，误将$\sqrt[3]{8}$的结果2直接作为答案，解题时需明确运算顺序，牢记相关概念的区别。
【难度系数】
0.7
解题需要分两步完成，首先要先化简$\sqrt[3]{8}$，再对化简后的结果求算术平方根。注意不要出现直接对8求算术平方根，或者只算出$\sqrt[3]{8}$就直接填答案的错误。第一步先根据立方根的定义计算$\sqrt[3]{8}$的结果，第二步再根据算术平方根的定义，求第一步所得结果的算术平方根即可。
【解析】
1. 先计算$\sqrt[3]{8}$的值：
根据立方根的定义，若$x^3=a$，则$x$是$a$的立方根，因为$2^3=8$，因此$\sqrt[3]{8}=2$。
2. 再求2的算术平方根：
根据算术平方根的定义，非负数的非负平方根为它的算术平方根，因此2的算术平方根为$\sqrt{2}$。
综上，$\sqrt[3]{8}$的算术平方根是$\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
立方根的计算；算术平方根的定义
【点评】
本题是基础运算题，易错点是审题不仔细，忽略需要两步运算，误将$\sqrt[3]{8}$的结果2直接作为答案，解题时需明确运算顺序，牢记相关概念的区别。
【难度系数】
0.7
14. 物体自由下落的高度$h$(单位:m)与下落时间$t$(单位:s)的关系是$h=4.9t^2$. 在一次实验中,一个物体从490 m高的建筑物上自由落下,到达地面需要的时间为s.
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
题目已经给出自由下落高度h和时间t的关系式，已知物体下落的总高度为490m，要求到达地面的时间，我们只需将h=490代入给定的公式，得到关于t的方程后求解即可。需要注意时间是正数，因此求解时只需取正的平方根（算术平方根）作为结果。
【解析】
解：把$h=490$代入$h=4.9t^2$，可得：
$4.9t^2=490$
等式两边同时除以4.9，得：
$t^2=490÷4.9=100$
因为下落时间$t$为正数，所以：
$t=\sqrt{100}=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
1. 代入法求值
2. 算术平方根的计算
【点评】
本题是基础应用型题目，解题核心是将实际条件代入给定公式，结合实际意义对开方结果进行取舍，计算难度低，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
题目已经给出自由下落高度h和时间t的关系式，已知物体下落的总高度为490m，要求到达地面的时间，我们只需将h=490代入给定的公式，得到关于t的方程后求解即可。需要注意时间是正数，因此求解时只需取正的平方根（算术平方根）作为结果。
【解析】
解：把$h=490$代入$h=4.9t^2$，可得：
$4.9t^2=490$
等式两边同时除以4.9，得：
$t^2=490÷4.9=100$
因为下落时间$t$为正数，所以：
$t=\sqrt{100}=10$
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
1. 代入法求值
2. 算术平方根的计算
【点评】
本题是基础应用型题目，解题核心是将实际条件代入给定公式，结合实际意义对开方结果进行取舍，计算难度低，属于易得分题型。
【难度系数】
0.9
15. (2024·深圳)如图3所示, 四边形ABCD、DEFG、GHIJ均为正方形, 且$S_{正方形ABCD}=10$, $S_{正方形GHIJ}=1$, 则正方形DEFG的边长可以是.(写出一个答案即可)
答案
$\boldsymbol{2}$（答案不唯一，满足$1＜x＜\sqrt{10}$即可）
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆正方形面积公式：正方形面积=边长的平方，因此可以先根据已知的两个正方形的面积求出它们的边长。再结合图形中三个正方形的排列位置：左侧正方形ABCD最大，右侧正方形GHIJ最小，中间正方形DEFG的边长需要大于右侧小正方形的边长，同时小于左侧大正方形的边长，即可得到中间正方形边长的取值范围，在范围内任选一个数值即为答案。
【解析】
设正方形DEFG的边长为$ x $。
1. 根据正方形面积公式，可得：
正方形$ ABCD $的边长为$ \sqrt{S_{正方形ABCD}}=\sqrt{10} $，
正方形$ GHIJ $的边长为$ \sqrt{S_{正方形GHIJ}}=\sqrt{1}=1 $。
2. 结合图形的排列特征可知，中间正方形DEFG的边长需满足：大于小正方形GHIJ的边长，小于大正方形ABCD的边长，即 $ 1 ＜ x ＜ \sqrt{10} $。
在该范围内任取一个数即可，例如取$ x=2 $。
【答案】
$\boldsymbol{2}$（答案不唯一，满足$1＜x＜\sqrt{10}$即可）
【知识点】
正方形面积公式，不等式的应用，正方形的性质
【点评】
本题结合几何图形考查边长取值范围的判断，解题的关键是结合图形直观得到中间正方形边长的限制条件，属于基础题型，答案具有开放性，只要在取值范围内均正确。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆正方形面积公式：正方形面积=边长的平方，因此可以先根据已知的两个正方形的面积求出它们的边长。再结合图形中三个正方形的排列位置：左侧正方形ABCD最大，右侧正方形GHIJ最小，中间正方形DEFG的边长需要大于右侧小正方形的边长，同时小于左侧大正方形的边长，即可得到中间正方形边长的取值范围，在范围内任选一个数值即为答案。
【解析】
设正方形DEFG的边长为$ x $。
1. 根据正方形面积公式，可得：
正方形$ ABCD $的边长为$ \sqrt{S_{正方形ABCD}}=\sqrt{10} $，
正方形$ GHIJ $的边长为$ \sqrt{S_{正方形GHIJ}}=\sqrt{1}=1 $。
2. 结合图形的排列特征可知，中间正方形DEFG的边长需满足：大于小正方形GHIJ的边长，小于大正方形ABCD的边长，即 $ 1 ＜ x ＜ \sqrt{10} $。
在该范围内任取一个数即可，例如取$ x=2 $。
【答案】
$\boldsymbol{2}$（答案不唯一，满足$1＜x＜\sqrt{10}$即可）
【知识点】
正方形面积公式，不等式的应用，正方形的性质
【点评】
本题结合几何图形考查边长取值范围的判断，解题的关键是结合图形直观得到中间正方形边长的限制条件，属于基础题型，答案具有开放性，只要在取值范围内均正确。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共75分)
16. (8分)计算：
(1) $\sqrt{\dfrac{1}{81}} + \sqrt[3]{-27} + \sqrt{4} - (-1)^4$；
(2) $\sqrt{\dfrac{1}{4}} × \sqrt[3]{-8} + |2 - \sqrt{3}| + |1 - \sqrt{3}|$。
16. (8分)计算：
(1) $\sqrt{\dfrac{1}{81}} + \sqrt[3]{-27} + \sqrt{4} - (-1)^4$；
(2) $\sqrt{\dfrac{1}{4}} × \sqrt[3]{-8} + |2 - \sqrt{3}| + |1 - \sqrt{3}|$。
答案
解：
(1) 原式$=\dfrac{1}{9} + (-3) + 2 - 1$
$=\dfrac{1}{9} - 3 + 2 - 1$
$=\dfrac{1}{9} - 2$
$=-\dfrac{17}{9}$
(2) 原式$=\dfrac{1}{2} × (-2) + (2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-1)$
$=-1 + 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1$
$=0$
(1) 原式$=\dfrac{1}{9} + (-3) + 2 - 1$
$=\dfrac{1}{9} - 3 + 2 - 1$
$=\dfrac{1}{9} - 2$
$=-\dfrac{17}{9}$
(2) 原式$=\dfrac{1}{2} × (-2) + (2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-1)$
$=-1 + 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1$
$=0$
解析
【分析】
这两道题属于实数混合运算的基础题，解题思路分为两步：第一步先分别化简每一项，涉及算术平方根、立方根、乘方、绝对值的化简，要牢记对应的运算规则；第二步再按照有理数的运算顺序，先算乘除、后算加减，合并计算即可。
对于第(1)题，先根据算术平方根、立方根、乘方的性质分别算出每一项的值，再代入做加减运算，注意负数的立方根仍为负数、负数的偶次幂为正数。
对于第(2)题，先化简算术平方根和立方根，再判断绝对值内式子的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值后先算乘法，再合并同类项，互为相反数的项可以直接抵消简化计算。
【解析】
(1) 先逐项化简：$\sqrt{\dfrac{1}{81}}=\dfrac{1}{9}$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{4}=2$，$(-1)^4=1$
原式$=\dfrac{1}{9} + (-3) + 2 - 1$
$=\dfrac{1}{9} - 3 + 2 - 1$
$=\dfrac{1}{9} - 2$
$=-\dfrac{17}{9}$
(2) 先逐项化简：$\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，$|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$，$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$
原式$=\dfrac{1}{2} × (-2) + (2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-1)$
$=-1 + 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1$
$=0$
【答案】
(1) $-\dfrac{17}{9}$；(2) $0$
【知识点】
实数混合运算、二次根式化简、绝对值的性质
【点评】
本题考察实数运算的核心基础规则，只要熟练掌握开方、绝对值、乘方的化简方法，注意符号判断即可得分，运算时建议逐项检查化简结果，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.75
这两道题属于实数混合运算的基础题，解题思路分为两步：第一步先分别化简每一项，涉及算术平方根、立方根、乘方、绝对值的化简，要牢记对应的运算规则；第二步再按照有理数的运算顺序，先算乘除、后算加减，合并计算即可。
对于第(1)题，先根据算术平方根、立方根、乘方的性质分别算出每一项的值，再代入做加减运算，注意负数的立方根仍为负数、负数的偶次幂为正数。
对于第(2)题，先化简算术平方根和立方根，再判断绝对值内式子的正负：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，去掉绝对值后先算乘法，再合并同类项，互为相反数的项可以直接抵消简化计算。
【解析】
(1) 先逐项化简：$\sqrt{\dfrac{1}{81}}=\dfrac{1}{9}$，$\sqrt[3]{-27}=-3$，$\sqrt{4}=2$，$(-1)^4=1$
原式$=\dfrac{1}{9} + (-3) + 2 - 1$
$=\dfrac{1}{9} - 3 + 2 - 1$
$=\dfrac{1}{9} - 2$
$=-\dfrac{17}{9}$
(2) 先逐项化简：$\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$，$\sqrt[3]{-8}=-2$，$|2-\sqrt{3}|=2-\sqrt{3}$，$|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$
原式$=\dfrac{1}{2} × (-2) + (2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}-1)$
$=-1 + 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1$
$=0$
【答案】
(1) $-\dfrac{17}{9}$；(2) $0$
【知识点】
实数混合运算、二次根式化简、绝对值的性质
【点评】
本题考察实数运算的核心基础规则，只要熟练掌握开方、绝对值、乘方的化简方法，注意符号判断即可得分，运算时建议逐项检查化简结果，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.75
