4. 在四边形 $ABCD$ 中，$AD// BC$，$BC⊥ CD$，$AD = 6\ \mathrm{cm}$，$BC = 10\ \mathrm{cm}$，$M$ 是 $BC$ 上一点，且 $BM = 4\ \mathrm{cm}$，点 $E$ 从点 $A$ 出发以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $D$ 运动，点 $F$ 从点 $B$ 出发以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向点 $C$ 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为 $t\ \mathrm{s}$，当 $t$ 的值为时，以 $A$，$M$，$E$，$F$ 为顶点的四边形是平行四边形。

$\frac{4}{3}$或4

5. 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$AB⊥ AC$，$AB = 6$，$BC = 10$，点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿射线 $BC$ 方向运动；点 $Q$ 从点 $D$ 同时出发，沿 $DA$ 方向运动，到点 $A$ 为止，运动的时间为 $t$ 秒。
(1)若点 $P$ 的运动速度为 $3$ 个单位长度/秒，点 $Q$ 的运动速度为 $1$ 个单位长度/秒，若以 $P$，$C$，$D$，$Q$ 为顶点的四边形为平行四边形，求 $t$ 的值；
(2)若点 $P$ 的运动速度为 $m$ 个单位长度/秒，点 $Q$ 的运动速度为 $n$ 个单位长度/秒，若运动中能使以 $P$，$C$，$D$，$Q$ 为顶点的四边形为菱形，请直接写出 $m$，$n$ 的数量关系。

解：
(1)①当点P在BC上时，
DQ=t, PC=10-3t，
$ \because$四边形ABCD是平行四边形，
$ \therefore AD// BC$，$\therefore DQ// PC$。
若四边形PCDQ是平行四边形，则DQ=PC，
$ \therefore t=10-3t$，$\therefore t=2.5$；
②当点P在BC的延长线上时，
PC=3t-10。
若四边形CPDQ是平行四边形，
则DQ=PC，$\therefore t=3t-10$，$\therefore t=5$。
综上，当t的值为2.5或5时，以P,C,D,Q为顶点的四边形为平行四边形。
(2)①当点P在BC上时，DQ=nt, PC=10-mt，
若四边形PCDQ是菱形，
则DQ=PC=CD=AB=6，
$ \therefore nt=10-mt=6$，$\therefore mt=4$，
$ \therefore \frac{m}{n}=\frac{2}{3}$，$\therefore 3m=2n$；
②如图，当点P在BC的延长线上时，连接PQ，交CD于点E。
$ \because AB⊥ AC$，$\therefore ∠ BAC=90°$，
$ \therefore AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
$ \because$四边形ABCD是平行四边形，$\therefore CD// AB$，
$ \therefore ∠ ACD=90°$。
$ \because$四边形PCQD是菱形，
$ \therefore PQ⊥ CD, CE=DE, PE=QE$，
$ \therefore PQ// AC$，$\therefore$四边形ACPQ是平行四边形，
$ \therefore PQ=AC=8$，$\therefore QE=PE=4$。
$ \because CE=DE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB=3$，
$ \therefore DQ=PD=\sqrt{QE^2+DE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
$ \therefore nt=mt-10=5$，$\therefore m=3n$。
综上，当3m=2n或m=3n时，以P,C,D,Q为顶点的四边形为菱形。

6. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 6$，$BC = 8$，$E$，$F$ 是对角线 $AC$ 上的两个动点，分别从点 $A$，$C$ 同时出发相向而行，速度均为每秒 $1$ 个单位长度，运动时间为 $t$ 秒，其中 $0≤ t≤ 10$。
(1)若 $G$，$H$ 分别是 $AD$，$BC$ 的中点，则四边形 $EGFH$ 一定是(点 $E$，$F$ 相遇时除外)；
(2)在(1)的条件下，若四边形 $EGFH$ 为矩形，求 $t$ 的值；
(3)在(1)的条件下，若点 $G$ 向点 $D$ 运动，点 $H$ 向点 $B$ 运动，且与点 $E$，$F$ 以相同的速度同时出发，若四边形 $EGFH$ 为菱形，求 $t$ 的值。

平行四边形
解：
(2)如图①，连接GH，$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10$，
由
(1)得AG=BH, AG// BH, ∠ B=90°，
$ \therefore$四边形ABHG是矩形，$\therefore GH=AB=6$。
①如图①，当四边形EGFH是矩形且点E在点F左侧时，
EF=GH=6。
$ \because AE=CF=t$，$\therefore EF=10-2t=6$，$\therefore t=2$；

②如图②，当四边形EGFH是矩形且点E在点F右侧时，
EF=GH=6，
$ \because AE=CF=t$，
$ \therefore EF=t+t-10=2t-10=6$，$\therefore t=8$。
综上，当四边形EGFH为矩形时，t=2或t=8。
(3)如图③，M为AD的中点，连接AH, CG, GH，
AC与GH交于点O。
$ \because$四边形EGFH为菱形，
$ \therefore GH⊥ EF, OG=OH, OE=OF$，
$ \therefore OA=OC, AG=AH$，
$ \therefore$四边形AGCH为菱形，$\therefore AG=CG$。
设AG=CG=x，则DG=8-x，
由勾股定理，得$CD^2+DG^2=CG^2$，
即$6^2+(8-x)^2=x^2$，解得$x=\frac{25}{4}$，
$ \therefore MG=\frac{25}{4}-4=\frac{9}{4}$，即$t=\frac{9}{4}$。