9. 已知长方形的周长为 $ 14 \mathrm{ cm} $，它的两邻边长分别为 $ x(\mathrm{cm}) $，$ y(\mathrm{cm}) $，且满足 $ (x - y)^{2} - 2x + 2y + 1 = 0 $，求长方形的面积。

9. 由题意，得 $2(x + y) = 14$，解得 $x + y = 7$。 ①
因为 $(x - y)^2 - 2x + 2y + 1 = (x - y)^2 - 2(x - y) + 1 = (x - y - 1)^2 = 0$，
所以 $x - y = 1$。 ②
联立①②成方程组 $\begin{cases}x + y = 7,\\x - y = 1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 4,\\y = 3。\end{cases}$
所以长方形的面积 $S = xy = 4 × 3 = 12(\mathrm{cm}^2)$。

10. 如图，将一张长方形纸片按如图所示分割成 6 块，其中有两块是边长为 $ x $ 的正方形，一块是边长为 $ y $ 的正方形，三块是长为 $ y $，宽为 $ x $ 的长方形 $ (0 ＜ x ＜ y) $。
(1)观察图形，代数式 $ 2x^{2} + 3xy + y^{2} $ 可分解因式为。
(2)图中阴影部分的面积记作 $ S_{1} $，非阴影部分的面积记作 $ S_{2} $。
①用含 $ x $，$ y $ 的代数式表示 $ S_{1} $，$ S_{2} $；
②若 $ S_{1} - S_{2} = 2x^{2} - xy $，求图中两个正方形的边长 $ x $ 与 $ y $ 的比。
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10. (1) $(2x + y)(x + y)$
(2) ① $S_1 = xy + xy + xy = 3xy$，$S_2 = x^2 + x^2 + y^2 = 2x^2 + y^2$。
② $S_1 - S_2 = 3xy - 2x^2 - y^2 = 2x^2 - xy$。整理，得 $4x^2 - 4xy + y^2 = 0$，
所以 $(2x - y)^2 = 0$，所以 $2x - y = 0$，所以 $y = 2x$，
所以 $\frac{x}{y} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$。