6. (多选题)已知$M$是关于$x$的三次多项式，$N$是关于$x$的五次多项式。下列结论正确的是()。

A.$M + N$是八次式
B.$M - N$是二次式
C.$M×N$是八次式
D.$M - N$是五次式

6. CD

7. 如图，一个长方体的长、宽、高分别为$(x + 1)\mathrm{cm}$，$x(\mathrm{cm})$，$(x + 2)\mathrm{cm}$。若长、宽、高分别增加$2\mathrm{cm}$，$1\mathrm{cm}$，$2\mathrm{cm}$，则长方体的体积增加了多少立方厘米？

解：原长方体体积为 $x(x + 1)(x + 2)$。
长、宽、高增加后的长度分别为 $(x + 1 + 2) = (x + 3)$ cm，$(x + 1)$ cm，$(x + 2 + 2) = (x + 4)$ cm，新体积为 $(x + 3)(x + 1)(x + 4)$。
体积增加量为：
$\begin{aligned}&(x + 3)(x + 1)(x + 4)-x(x + 1)(x + 2)\\=&(x + 1)[(x + 3)(x + 4)-x(x + 2)]\\=&(x + 1)[x^2 + 7x + 12 - x^2 - 2x]\\=&(x + 1)(5x + 12)\\=&5x^2 + 17x + 12\end{aligned}$
答：长方体的体积增加了 $(5x^2 + 17x + 12)$ 立方厘米。

8. 【问题提出】已知$(x + 3)(x + a)=x^{2}-2x - m$，求$m$的值。
【问题解决】小王同学经过思考，提出两种解决方法。
方法一：$(x + 3)(x + a)=x^{2}+(a + 3)x + 3a=x^{2}-2x - m$，
比较等式两边各项系数可得$\begin{cases}a + 3 = - 2,\\3a = - m,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = - 5,\\m = 15,\end{cases}$
所以$m$的值为$15$。
方法二：由于$(x + 3)(x + a)=x^{2}-2x - m$是恒等式，取$x = - 3$，代入可得$(-3)^{2}-2×(-3)-m = 0$，故$m = 15$。
【运用迁移】
(1) 已知$(2x + 1)(x^{2}+ax + b)=2x^{3}-x^{2}+m$，求$m$的值。
(2) 已知$(x + p)(x - 1)(2x + 3)=2x^{3}-mx^{2}+nx + 6$，求$m$和$n$的值。

8. (1) 取$x=-\frac{1}{2}$，可得$m=\frac{1}{2}$。
(2) 取$x = 1$和$x=-\frac{3}{2}$，代入，得$\begin{cases}2 - m + n + 6 = 0,\\2×(-\frac{3}{2})^{3}-(-\frac{3}{2})^{2}m+(-\frac{3}{2})n + 6 = 0,\end{cases}$
解得$m = 3$，$n = -5$。