【变式训练 1】如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，ED⊥BC 于点 D，连接 AD。
(1) 写出图中所有的等腰三角形；
(2) 若 BC = 10，求 AB + AE 的长。

解: (1)△ABC,△DCE,△ADE,△ABD,共 4 个。
(2)由(1)可知△ADE,△ABD,△DCE 均为等腰三角形,
故 AB=BD,AE=DE=CD,
∴AB+AE=BD+CD=BC=10。

例 2 在△ABC 中，已知∠C = 3∠B，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D。
(1) 如图(1)，若 AE⊥BC 于点 E，∠C = 75°，求∠DAE 的度数；
(2) 如图(2)，若 DF⊥AD 交 AB 于点 F，求证：BF = DF。

(1)
$\because ∠ C = 3∠ B$，$∠ C = 75°$，
$\therefore ∠ B = 25°$。
在 $△ ABC$ 中，$∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$，
$\therefore ∠ BAC = 180° - 25° - 75° = 80°$。
$\because AD$ 平分 $∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = \frac{1}{2} ∠ BAC = 40°$。
$\therefore ∠ ADE = ∠ BAD + ∠ B = 65°$。
$\because AE ⊥ BC$，
$\therefore ∠ AED = 90°$。
$\therefore ∠ DAE = 90° - ∠ ADE = 90° - 65° = 25°$。
因此，$∠ DAE$ 的度数为：$25°$。
(2)
设 $∠ B = α$，则 $∠ C = 3α$，
$\therefore ∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 4α$。
$\because AD$ 平分 $∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAD = \frac{1}{2} ∠ BAC = 90° - 2α$。
$\because DF ⊥ AD$，
$\therefore ∠ ADF = 90°$。
$\therefore ∠ AFD = 90° - ∠ BAD = 2α$。
$\because ∠ AFD = ∠ B + ∠ BDF$，
$\therefore ∠ BDF = α = ∠ B$。
$\therefore BF = DF$。