9. 如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D，过 CD 上一点 E 作 EG // AD，交 AC 于点 F，交 BA 的延长线于点 G。

(1)求证：△AFG 是等腰三角形；
(2)若 EC = EF，∠BAC = 80°，求∠B 的度数。

9. (1)证明：
∵EG//AD，
∴∠G = ∠BAD，∠DAC = ∠AFG。
∵AD 平分∠BAC，
∴∠BAD = ∠DAC。
∴∠G = ∠AFG。
∴AG = AF。
∴△AFG 是等腰三角形。
(2)解：
∵AD 平分∠BAC，∠BAC = $80 ^ { \circ }$，
∴∠BAD = ∠DAC = $\frac { 1 } { 2 } ∠ B A C = 40 ^ { \circ }$。
∵EG//AD，
∴∠DAC = ∠AFG = $40 ^ { \circ }$。
∴∠EFC = ∠AFG = $40 ^ { \circ }$。
∵EC = EF，
∴∠C = ∠EFC = $40 ^ { \circ }$。
∴∠B = $180 ^ { \circ } - ∠ B A C - ∠ C = 60 ^ { \circ }$。

知识点 等腰三角形“三线合一”的应用
1. 等腰三角形两底角的相等，两条腰上的和也分别相等。
2. 应用“三线合一”的性质进行证明时，最常用的辅助线是作底边上的高。

知识点 1. 平分线 高 中线

平分线；高；中线

例 1 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE//AB 交 BC 于点 E，DF⊥AB，垂足为点 F。
(1) 求证：BE = DE；
(2) 若 DE = 5，CE = 2，求 BF 的长。

(1)
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD。
∵ DE // AB，
∴ ∠EDB = ∠ABD。
∴ ∠CBD = ∠EDB。
∴ BE = DE。
(2)
∵ BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠DBF = ∠CBD。
∵ ∠C = 90°，DF ⊥ AB，
∴ ∠C = ∠DFB = 90°。
在 △CBD 和 △FBD 中，
∵
$\begin{cases} ∠ C = ∠ DFB, \\ ∠ CBD = ∠ DBF, \\ BD = BD, \end{cases}$
∴ △CBD ≌ △FBD (AAS)。
∴ BC = BF。
由 (1) 知 BE = DE，
∴ BF = BC = BE + CE = DE + CE = 5 + 2 = 7。