5. 如图,在△ABC中,$AB=AC=10$,$BC=12$,求$\sin C$和$\cos C$.

(第5题)

解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC=10，BC=12，
∴DC=½BC=6，
在Rt△ADC中，
AD=√(AC²-DC²)=√(10²-6²)=√64=8，
∴sinC=AD/AC=8/10=4/5，
cosC=DC/AC=6/10=3/5。

6. 如图,用一个平面截正方体得到三棱锥S-DPQ.已知$∠ SPD=45°$,$∠ SQD=37°$,PQ=1,求SD的长(参考数据:$\sin37°\approx 0.6$,$\cos37°\approx 0.8$,$\tan37°\approx 0.75$).

(第6题)

解：设SD的长为x。
由题意知，$SD ⊥ DP$，$SD ⊥ DQ$。
在$\mathrm{Rt}△ SPD$中，$∠ SPD=45°$，
$\because \tan∠ SPD=\frac{SD}{DP}$，$\tan45°=1$，
$\therefore DP=SD=x$。
在$\mathrm{Rt}△ SQD$中，$∠ SQD=37°$，
$\because \tan∠ SQD=\frac{SD}{DQ}$，$\tan37°\approx0.75$，
$\therefore DQ=\frac{SD}{\tan37°}=\frac{x}{0.75}=\frac{4x}{3}$。
$\because DP ⊥ DQ$，
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ DPQ$中，由勾股定理得：
$DP^2+DQ^2=PQ^2$，
代入得：$x^2+(\frac{4x}{3})^2=1^2$，
$x^2+\frac{16x^2}{9}=1$，
$\frac{25x^2}{9}=1$，
$x^2=\frac{9}{25}$，
$\because x＞0$，
$\therefore x=\frac{3}{5}=0.6$。
答：SD的长为0.6。

7. 如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限内,其坐标是$(x,8)$,且OP与x轴的正半轴的夹角$α$的正切值是$\frac{4}{3}$.求:
(1) x的值;
(2) 角$α$的正弦值.

(第7题)

解：
(1) 过点P作PH⊥x轴于点H，
则PH=8，OH=x，
由$\tanα=\frac{PH}{OH}$，得$\frac{8}{x}=\frac{4}{3}$，
解得$x=6$。
(2) 在Rt△OPH中，
$OP=\sqrt{OH^2+PH^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
则$\sinα=\frac{PH}{OP}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$。

8. 如图,点P、M、Q在半径为1的$\odot O$上,根据已学知识和图中数据(0.97、0.26为近似数),解答下列问题:
(1) $\sin60°=$,$\cos75°=$;
(2) 若$MH⊥ x$轴,垂足为H,MH交OP于点N,求MN的长(精确到0.01.参考数据:$\sqrt{2}\approx 1.414$,$\sqrt{3}\approx 1.732$).

(第8题)

解：
(1) $\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.87$，$\cos75°=0.26$；
(2) 由题意，$OH=\cos60°=\frac{1}{2}=0.5$，$MH=\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866$。
在$Rt△ ONH$中，$∠ NOH=15°$，
$\tan15°=\frac{\sin15°}{\cos15°}=\frac{0.26}{0.97}\approx0.268$，
则$NH=OH·\tan15°=0.5×0.268\approx0.134$，
$MN=MH-NH\approx0.866-0.134\approx0.73$。
答：MN的长约为0.73。