1. 如图 12-ZT-1，在四边形 $ABCD$ 中，$AB = 5$，$BC = 13$，$∠ A = 130°$，$∠ D = 100°$，$AD = CD$。若 $E$，$F$ 分别是边 $AD$，$CD$ 的中点，则 $EF$ 的长是()


A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

1. D

2. 如图 12-ZT-2，四边形 $ABCD$ 中，$∠ A = 90°$，$AB = 8$，$AD = 6$，$M$，$N$ 分别为线段 $BC$，$AB$ 上的动点（含端点，但点 $M$ 不与点 $B$ 重合），$E$，$F$ 分别为 $DM$，$MN$ 的中点，求 $EF$ 长度的最大值。

2. 5

3. 如图 12-ZT-3，在 $△ ABC$ 中，$AD$ 平分 $∠ BAC$，$BD ⊥ AD$，$E$ 是 $BC$ 的中点，连接 $DE$，且 $AB = 6$，$AC = 10$，则 $DE =$。

3. 2

4. 如图 12-ZT-4，$AD$ 是 $△ ABC$ 的中线，$E$ 是 $AD$ 的中点，$F$ 是 $BE$ 的延长线与 $AC$ 的交点，若 $AC = 4$，求线段 $AF$ 的长。

4. $\frac{4}{3}$

5. 如图 12-ZT-5，在 $△ ABC$ 中，$∠ ABC = 90°$，$AB = BC$，$BD ⊥ AC$ 于点 $D$，$CE$ 平分 $∠ ACB$，交 $AB$ 于点 $E$，交 $BD$ 于点 $F$。
求证：
（1）$△ BEF$ 是等腰三角形；
（2）$BD = \frac{1}{2}(BC + BF)$。

5. 证明:(1)
∵∠ABC = 90°，
∴∠BEF + ∠BCE = 90°.
∵BD⊥AC，
∴∠FDC = 90°，
∴∠FCD + ∠DFC = 90°.
∵CE平分∠ACB，
∴∠FCD = ∠BCE，
∴∠BEF = ∠DFC.
又
∵∠DFC = ∠BFE，
∴∠BEF = ∠BFE.
∴BE = BF，
∴△BEF是等腰三角形.
(2)如图所示，延长AB至点M，使得BM = AB，连接CM.
∵∠ABC = 90°，
∴BC是AM的垂直平分线，

∴AC = MC，
∴∠A = ∠M.
∵AB = BC，AB = BM，
∴BM = BC，
∴∠BCM = ∠M.
∴∠BCM = ∠A，
∴∠BCM + ∠BCE = ∠A + ∠ACE，
即∠MCE = ∠MEC，
∴CM = ME.
∵AB = BC，BD⊥AC，
∴AD = CD，
∴BD//CM，BD = $\frac{1}{2}$CM，
∴BD = $\frac{1}{2}$EM = $\frac{1}{2}$(BM + BE) = $\frac{1}{2}$(BC + BF).