8. 如图 1 - 5 - 8，∠AOB = 60°，以点 O 为圆心，任意长为半径作弧分别交 OA，OB 于 C，D 两点，分别以点 C，D 为圆心，大于 $\frac{1}{2}CD$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 P，以 O 为端点作射线 OP，在射线 OP 上截取线段 OM = 6，则点 M 到 OB 的距离为()

A.6
B.2
C.3
D.$3\sqrt{3}$

8. C

9. (2023 广州)如图 1 - 5 - 9，已知 AD 是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高，AE = 12，DF = 5，则点 E 到直线 AD 的距离为 .

9. $\frac{60}{13}$

10. 如图 1 - 5 - 10，A，B 两点分别在射线 OM，ON 上，点 C 在∠MON 的内部且 CA = CB，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为 D，E，且 AD = BE.
(1) 求证：OC 平分∠MON；
(2) 如果 AO = 12，BO = 4，求 OD 的长.

1. （1）证明：
因为$CD⊥ OM$，$CE⊥ ON$，所以$∠ CDA=∠ CEB = 90°$。
在$Rt△ CDA$和$Rt△ CEB$中，$\{\begin{array}{l}CA = CB\\AD = BE\end{array} $。
根据$HL$（斜边 - 直角边）定理，可得$Rt△ CDA≌ Rt△ CEB$。
所以$CD = CE$。
又因为$CD⊥ OM$，$CE⊥ ON$，根据角平分线的判定定理（到角两边距离相等的点在角的平分线上），所以$OC$平分$∠ MON$。
2. （2）解：
因为$Rt△ CDA≌ Rt△ CEB$，所以$CD = CE$。
在$Rt△ OCD$和$Rt△ OCE$中，$\{\begin{array}{l}OC = OC\\CD = CE\end{array} $。
根据$HL$定理，$Rt△ OCD≌ Rt△ OCE$，所以$OD = OE$。
设$OD=x$，则$OE = x$。
因为$AD = OD - OA$（这里$AD = BE$，$BE=OE - OB$），所以$x - 12=4 - x$。
移项可得$x+x=4 + 12$。
合并同类项得$2x=16$。
解得$x = 8$。
所以$OD$的长为$8$。

11. 核心素养 推理能力 观察、猜想、探究：
在△ABC 中，∠ACB = 2∠B.
(1) 如图 1 - 5 - 11 ①，当∠C = 90°，AD 为∠BAC 的平分线时，求证：AB = AC + CD；
(2) 如图②，当∠C ≠ 90°，AD 为∠BAC 的平分线时，线段 AB，AC，CD 又有怎样的数量关系？不需要证明，请直接写出你的猜想；
(3) 如图③，当 AD 为△ABC 的外角平分线时，线段 AB，AC，CD 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.

11. 解:(1)证明:过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$,如图①.
$\because AD$为$∠ BAC$的平分线,
$DC⊥ AC$,$DE⊥ AB$,
$\therefore DE=DC$.

在$Rt△ ACD$和$Rt△ AED$中,
$\because AD=AD$,$DC=DE$,
$\therefore Rt△ ACD≌ Rt△ AED$,$\therefore AC=AE$.
$\because ∠ ACB=2∠ B$,$∠ ACB=90°$,
$\therefore ∠ B=45°$.
又$\because ∠ AED=90°$,$\therefore ∠ B=∠ EDB=45°$,
$\therefore BE=DE=DC$,
$\therefore AB=AE+BE=AC+CD$.
(2)$AB=AC+CD$.
(3)$AB=CD-AC$.证明:
在$AF$上截取$AG=AC$,
连接$DG$,如图②.

$\because AD$为$∠ FAC$的平分线,$\therefore ∠ GAD=∠ CAD$.
在$△ ADG$和$△ ADC$中,
$\because AG=AC$,$∠ GAD=∠ CAD$,$AD=AD$,
$\therefore △ ADG≌ △ ADC(SAS)$,
$\therefore CD=GD$,$∠ AGD=∠ ACD$,
$\therefore ∠ ACB=∠ FGD$.
$\because ∠ ACB=2∠ B$,$\therefore ∠ FGD=2∠ B$.
又$\because ∠ FGD=∠ B+∠ GDB$,
$\therefore ∠ B=∠ GDB$,$\therefore BG=DG=DC$,
$\therefore AB=BG-AG=CD-AC$.