一、选择题
1. 下列方程中，无论 $ a $ 是什么实数，总是关于 $ x $ 的一元二次方程的是().
A.$ (2x - 1)(x^2 + 3) = 2x^2 - a $
B.$ ax^2 - 3x + 9 = 0 $
C.$ ax^2 + x = x^2 - 1 $
D.$ (3a^2 + 4)x^2 - 2 = 0 $

1. D

【分析】
要判断一个方程无论$a$取任何实数，总是关于$x$的一元二次方程，需紧扣一元二次方程的定义：只含一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0的整式方程。解题思路是逐个分析选项，验证是否满足“无论$a$为任何实数，方程都符合一元二次方程的定义”，重点关注二次项系数是否恒不为0。
【解析】
根据一元二次方程的定义，逐一分析选项：
选项A：将方程左边展开并整理：$(2x - 1)(x^2 + 3) = 2x^3 + 6x - x^2 - 3$，移项后得$2x^3 - 3x^2 + 6x + (a - 3) = 0$，未知数$x$的最高次数为3，是一元三次方程，不符合一元二次方程的定义，排除A。
选项B：当$a = 0$时，方程变为$-3x + 9 = 0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不满足“无论$a$为何实数都是一元二次方程”，排除B。
选项C：整理方程得$(a - 1)x^2 + x + 1 = 0$，当$a = 1$时，二次项系数$a - 1 = 0$，方程变为$x + 1 = 0$，是一元一次方程，不符合要求，排除C。
选项D：因为$a^2 ≥ 0$，所以$3a^2 + 4 ≥ 4$，即无论$a$取任何实数，二次项系数$3a^2 + 4$恒大于0，且方程是只含$x$的整式方程，未知数最高次数为2，完全符合一元二次方程的定义，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题核心考查一元二次方程的定义，尤其要注意含参数的方程中，必须保证二次项系数恒不为0，才能确保无论参数取何值，方程始终是一元二次方程，解题时需对每个选项进行严谨的分类讨论（尤其是参数使二次项系数为0的情况）。
【难度系数】
0.7

2. 若 $ x = 1 $ 是方程 $ x^2 + mx + n = 0 $ 的一个根，则 $ m^2 + 2mn + n^2 $ 的值为().

A.$ -1 $
B.$ 1 $
C.$ 2 $
D.无法确定

2. B

解：因为$x = 1$是方程$x^2 + mx + n = 0$的一个根，所以将$x = 1$代入方程可得：$1^2 + m×1 + n = 0$，即$1 + m + n = 0$，所以$m + n = -1$。
$m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2$，将$m + n = -1$代入可得：$(-1)^2 = 1$。
B

3. 若 $ b(b ≠ 0) $ 是关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + cx + b = 0 $ 的根，则 $ b + c $ 的值为().

A.$ 1 $
B.$ -1 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $

3. B

因为$b(b ≠ 0)$是方程$x^2 + cx + b = 0$的根，所以将$x = b$代入方程得：$b^2 + c · b + b = 0$，即$b(b + c + 1) = 0$。又因为$b ≠ 0$，所以$b + c + 1 = 0$，则$b + c = -1$。
B

二、填空题
4. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + (a^2 - 4)x = 2x^2 + 6 $ 化为一般形式后不含一次项，则 $ a $ 的值为.

4. -2

将方程整理为一般形式：$(a - 2)x^2 + (a^2 - 4)x - 6 = 0$。
因为方程不含一次项，所以一次项系数为$0$，即$a^2 - 4 = 0$，解得$a = \pm 2$。
又因为方程是一元二次方程，所以二次项系数不为$0$，即$a - 2 ≠ 0$，所以$a ≠ 2$。
综上，$a = -2$。
-2

5. 如果一个一元二次方程各项系数之和为 $ 0 $，那么这个方程可以是(写出一个即可).

5. 答案不唯一,如 $x^{2}+x-2=0$

$x^{2}+x-2=0$

6. 已知 $ m $，$ n $ 都是方程 $ x^2 + 2024x - 2024 = 0 $ 的根，则代数式 $ (m^2 + 2024m - 2025)(n^2 + 2024n - 2023) $ 的值为.

6. -1

解：因为$m$，$n$都是方程$x^2 + 2024x - 2024 = 0$的根，所以$m^2 + 2024m - 2024 = 0$，$n^2 + 2024n - 2024 = 0$。
则$m^2 + 2024m = 2024$，$n^2 + 2024n = 2024$。
所以$m^2 + 2024m - 2025 = 2024 - 2025 = -1$，$n^2 + 2024n - 2023 = 2024 - 2023 = 1$。
因此$(m^2 + 2024m - 2025)(n^2 + 2024n - 2023) = (-1)×1 = -1$。
-1

三、解答题
7. 已知两个连续正整数的平方和是 $ 313 $，求这两个数(只列出方程，并化为一般形式，不用求解).

7. 设较小的数为x，列方程 $x^{2}+(x+1)^{2}=313$，一般形式为 $x^{2}+x-156=0$

【分析】
首先，题目要求找两个连续正整数，我们可以设较小的正整数为$x$，由于是连续正整数，较大的数可表示为$x+1$。根据“两个数的平方和是313”这一等量关系，可列出方程，再通过展开、合并同类项将方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）。
【解析】
1. 设较小的连续正整数为$x$，则较大的连续正整数为$x+1$；
2. 根据题意，两个数的平方和为313，列出方程：
$x^{2}+(x+1)^{2}=313$；
3. 将方程展开并整理为一般形式：
$\begin{aligned}x^{2}+(x^2+2x+1)&=313\\2x^{2}+2x+1-313&=0\\2x^{2}+2x-312&=0\\x^{2}+x-156&=0\end{aligned}$
【答案】
列出的方程为$x^{2}+(x+1)^{2}=313$，一般形式为$x^{2}+x-156=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于基础应用题，解题关键是正确表示连续正整数，利用题目中的等量关系列出方程，再准确整理为一元二次方程的一般形式，掌握连续数的表示方法是核心。
【难度系数】
0.8

8. 一批上衣原来每件 $ 240 $ 元，经过两次降价后每件 $ 194.40 $ 元，求平均每次降价的百分率(只列出方程，不用求解).

8. 设平均每次降价的百分率为x，列方程 $240(1-x)^{2}=194.4$

【分析】
要解决这个平均降价百分率问题，首先明确这类问题的基本模型：若初始量为a，平均每次降低的百分率为x，经过n次降低后的量为b，则可列方程$a(1-x)^n=b$。
首先设平均每次降价的百分率为x；第一次降价后，上衣价格是原价240元乘以$(1-x)$，即$240(1-x)$；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此第二次降价后的价格为$240(1-x)(1-x)=240(1-x)^2$；已知两次降价后价格为194.40元，根据这个等量关系即可列出方程。
【解析】
设平均每次降价的百分率为x。
第一次降价后上衣的价格为$240(1-x)$元；
第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降价x，因此第二次降价后的价格为$240(1-x)^2$元；
根据两次降价后每件价格为194.40元，可列方程：
$240(1-x)^{2}=194.4$
【答案】
$240(1-x)^{2}=194.4$（设平均每次降价的百分率为x）
【知识点】
一元二次方程的应用（降低率问题）
【点评】
本题考查降低率问题的数学模型，核心是理解每次降价均以上一次降价后的价格为基础，需用$(1-x)$的幂次表示多次降价后的价格，掌握$a(1-x)^n=b$（a为初始量，x为平均降低率，n为降价次数，b为最终量）的模型是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.8