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4. 如图，在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$，$CD$平分$∠ ACB$，$DE ⊥ AB$于点$E$，$DF ⊥ BC$于点$F$.
(1) 若$∠ ABC=40°$，$∠ ACB=70°$，求$∠ BDC$的度数；
(2) 若$DE=2$，$BC=9$，求$△ BCD$的面积.
(1) 若$∠ ABC=40°$，$∠ ACB=70°$，求$∠ BDC$的度数；
(2) 若$DE=2$，$BC=9$，求$△ BCD$的面积.
答案
4. 解（1）因为BD平分∠ABC，∠ABC=40°，
所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×40°=20°.
因为CD平分∠ACB，∠ACB=70°，
所以∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×70°=35°.
所以∠BDC=180°−20°−35°=125°.
（2）因为 BD 平分 ∠ABC，DE ⊥ AB，DF⊥BC，DE=2，所以 DF=DE=2.
因为 BC=9，所以$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×DF=\frac{1}{2}×9×2=9$.
所以∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×40°=20°.
因为CD平分∠ACB，∠ACB=70°，
所以∠DCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×70°=35°.
所以∠BDC=180°−20°−35°=125°.
（2）因为 BD 平分 ∠ABC，DE ⊥ AB，DF⊥BC，DE=2，所以 DF=DE=2.
因为 BC=9，所以$S_{△BCD}=\frac{1}{2}×BC×DF=\frac{1}{2}×9×2=9$.
解析
【分析】
（1）求解∠BDC的度数，首先利用角平分线的定义，由已知的∠ABC和∠ACB的度数，分别计算出∠DBC和∠DCB的度数，再根据三角形内角和为180°，用180°减去∠DBC与∠DCB的度数和，即可得到∠BDC的度数。
（2）求解△BCD的面积，已知底BC的长度，只需求出BC边上的高DF即可。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出DF=DE，再代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
（1）
∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×70°=35°$，
在△BDC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ DCB=180°-20°-35°=125°$。
（2）
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴根据角平分线的性质得$DF=DE=2$，
已知$BC=9$，DF是BC边上的高，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC× DF=\frac{1}{2}×9×2=9$。
【答案】
（1）$\boxed{125°}$；（2）$\boxed{9}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查角平分线的相关性质和三角形的基础运算，解题时只要找准对应条件，熟练运用基础公式和性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
（1）求解∠BDC的度数，首先利用角平分线的定义，由已知的∠ABC和∠ACB的度数，分别计算出∠DBC和∠DCB的度数，再根据三角形内角和为180°，用180°减去∠DBC与∠DCB的度数和，即可得到∠BDC的度数。
（2）求解△BCD的面积，已知底BC的长度，只需求出BC边上的高DF即可。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可推出DF=DE，再代入三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
（1）
∵BD平分∠ABC，∠ABC=40°，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
∵CD平分∠ACB，∠ACB=70°，
∴$∠ DCB=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×70°=35°$，
在△BDC中，由三角形内角和为180°可得：
$∠ BDC=180°-∠ DBC-∠ DCB=180°-20°-35°=125°$。
（2）
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴根据角平分线的性质得$DF=DE=2$，
已知$BC=9$，DF是BC边上的高，
∴$S_{△ BCD}=\frac{1}{2}× BC× DF=\frac{1}{2}×9×2=9$。
【答案】
（1）$\boxed{125°}$；（2）$\boxed{9}$
【知识点】
角平分线的性质；三角形内角和定理；三角形面积计算
【点评】
本题是基础几何计算题，核心考查角平分线的相关性质和三角形的基础运算，解题时只要找准对应条件，熟练运用基础公式和性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在$△ ABC$中，$AB=9$，$AC=3$，$BC=7$，点$D$在边$BC$上，点$D$到边$AB$，$AC$的距离相等，且$AE=AC$，则$△ BDE$的周长等于（
A.10
B.13
C.16
D.19
B
）A.10
B.13
C.16
D.19
答案
5. B
解析
【分析】
首先，根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，由点D到AB、AC的距离相等可推出AD是∠BAC的角平分线，得到∠CAD=∠EAD；再结合已知条件AC=AE、AD为公共边，可利用SAS证明△ACD≌△AED，从而得到CD=DE；最后将△BDE的周长转化为BD+CD+BE，其中BD+CD=BC，BE=AB-AE=AB-AC，代入已知数值即可求出周长。
【解析】
解：
∵点D到边AB，AC的距离相等，
∴AD平分∠BAC（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠CAD=∠EAD。
在△ACD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}AC=AE（已知）\\∠CAD=∠EAD（已证）\\AD=AD（公共边）\end{array} $
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=DE（全等三角形的对应边相等）。
∵AE=AC=3，AB=9，
∴BE=AB-AE=9-3=6，
∵BC=BD+CD=7，且CD=DE，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=7+6=13。
【答案】
B
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题解题的核心是通过角平分线的判定得到等角，进而证明三角形全等，将未知的DE线段转化为已知的CD线段，把所求三角形的周长转化为已知线段的和，灵活运用了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
首先，根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，由点D到AB、AC的距离相等可推出AD是∠BAC的角平分线，得到∠CAD=∠EAD；再结合已知条件AC=AE、AD为公共边，可利用SAS证明△ACD≌△AED，从而得到CD=DE；最后将△BDE的周长转化为BD+CD+BE，其中BD+CD=BC，BE=AB-AE=AB-AC，代入已知数值即可求出周长。
【解析】
解：
∵点D到边AB，AC的距离相等，
∴AD平分∠BAC（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
∴∠CAD=∠EAD。
在△ACD和△AED中：
$\{\begin{array}{l}AC=AE（已知）\\∠CAD=∠EAD（已证）\\AD=AD（公共边）\end{array} $
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=DE（全等三角形的对应边相等）。
∵AE=AC=3，AB=9，
∴BE=AB-AE=9-3=6，
∵BC=BD+CD=7，且CD=DE，
∴△BDE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=7+6=13。
【答案】
B
【知识点】
1. 角平分线的判定
2. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题解题的核心是通过角平分线的判定得到等角，进而证明三角形全等，将未知的DE线段转化为已知的CD线段，把所求三角形的周长转化为已知线段的和，灵活运用了转化的数学思想。
【难度系数】
0.7
6. 如图，O是$△ ABC$内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离$OF=OD=OE$，若$∠ BAC=70°$，则$∠ BOC$的度数为（
A.$70°$
B.$120°$
C.$125°$
D.$130°$
C
）A.$70°$
B.$120°$
C.$125°$
D.$130°$
答案
6. C
解析
【分析】
首先根据题目给出的“O到三边AB、BC、CA的距离相等”这一条件，结合角平分线的判定定理，可得出O是△ABC三个内角的角平分线的交点。接下来先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和，再根据角平分线的定义得到∠OBC与∠OCB的度数和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边AB、BC、CA的距离$OF=OD=OE$，
∴点O是△ABC三条角平分线的交点，即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。
∵在△ABC中，∠BAC=70°，
∴$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° -70°=110°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×110°=55°$，
∵在△BOC中，内角和为180°，
∴$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° -55°=125°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题考查角平分线判定的实际应用，解题的关键是明确到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，再结合三角形内角和定理进行角度计算，是角平分线相关知识的典型基础题。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的“O到三边AB、BC、CA的距离相等”这一条件，结合角平分线的判定定理，可得出O是△ABC三个内角的角平分线的交点。接下来先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的度数和，再根据角平分线的定义得到∠OBC与∠OCB的度数和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边AB、BC、CA的距离$OF=OD=OE$，
∴点O是△ABC三条角平分线的交点，即BO平分∠ABC，CO平分∠ACB。
∵在△ABC中，∠BAC=70°，
∴$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ BAC = 180° -70°=110°$，
∴$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ ACB) = \frac{1}{2}×110°=55°$，
∵在△BOC中，内角和为180°，
∴$∠ BOC = 180° - (∠ OBC + ∠ OCB) = 180° -55°=125°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题考查角平分线判定的实际应用，解题的关键是明确到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，再结合三角形内角和定理进行角度计算，是角平分线相关知识的典型基础题。
【难度系数】
0.7
7. 如图，点P到∠AOB两边的距离相等，若∠POB=30°，则∠AOB=
60°
。答案
7. 60°
解析
【分析】
首先读取题目条件：点P到∠AOB两边的距离相等，我们可以联想到角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，由此可推出OP是∠AOB的角平分线；再根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的小角，已知∠POB=30°，则∠AOB等于2倍的∠POB，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点P到∠AOB两边的距离相等，
∴OP是∠AOB的角平分线（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴∠AOP=∠POB=30°，
∴∠AOB=∠AOP+∠POB=30°+30°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握角平分线的判定定理，结合角平分线的定义进行角度计算即可。
【难度系数】
0.9
首先读取题目条件：点P到∠AOB两边的距离相等，我们可以联想到角平分线的判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上，由此可推出OP是∠AOB的角平分线；再根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的小角，已知∠POB=30°，则∠AOB等于2倍的∠POB，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵点P到∠AOB两边的距离相等，
∴OP是∠AOB的角平分线（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∴∠AOP=∠POB=30°，
∴∠AOB=∠AOP+∠POB=30°+30°=60°。
【答案】
60°
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是熟练掌握角平分线的判定定理，结合角平分线的定义进行角度计算即可。
【难度系数】
0.9
8. 如图，$CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，垂足分别为$D$，$E$，线段$BE$，$CD$相交于点$O$，且$OB=OC$，求证：$∠ DAO=∠ EAO$.
答案
8. 证明 因为$CD⊥AB$，$BE⊥AC$，
所以$∠ODB=∠OEC=90°$.
在$△BOD$和$△COE$中，
$\begin{cases}∠ODB=∠OEC, \\∠BOD=∠COE, \\OB=OC,\end{cases}$
所以$△BOD≌△COE$（AAS）.
所以$OD=OE$. 所以$∠DAO=∠EAO$.
所以$∠ODB=∠OEC=90°$.
在$△BOD$和$△COE$中，
$\begin{cases}∠ODB=∠OEC, \\∠BOD=∠COE, \\OB=OC,\end{cases}$
所以$△BOD≌△COE$（AAS）.
所以$OD=OE$. 所以$∠DAO=∠EAO$.
解析
【分析】
要证明∠DAO=∠EAO，即证明AO平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点O到AB、AC的距离相等，也就是OD=OE。观察OD、OE所在的△BOD和△COE，已知OB=OC，由CD⊥AB、BE⊥AC可得∠ODB=∠OEC=90°，再结合对顶角∠BOD=∠COE，可通过AAS判定两三角形全等，得到OD=OE，即可推出待证结论。
【解析】
证明：
∵ $CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，
∴ $∠ODB=∠OEC=90°$。
在$△BOD$和$△COE$中，
$\begin{cases}∠ODB=∠OEC, \\∠BOD=∠COE, \\OB=OC,\end{cases}$
∴ $△BOD≌△COE$（AAS），
∴ $OD=OE$。
∵ $OD⊥AB$，$OE⊥AC$，
∴ 点O在∠BAC的角平分线上，即$∠ DAO=∠ EAO$。
【答案】
证明：因为$CD⊥AB$，$BE⊥AC$，
所以$∠ODB=∠OEC=90°$。
在$△BOD$和$△COE$中，
$\begin{cases}∠ODB=∠OEC, \\∠BOD=∠COE, \\OB=OC,\end{cases}$
所以$△BOD≌△COE$（AAS）。
所以$OD=OE$. 所以$∠DAO=∠EAO$。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是全等三角形与角平分线综合考查的基础题型，解题关键是先利用已知的垂直、对顶角相等、边相等的条件证明三角形全等，得到点到角两边的距离相等后，结合角平分线的判定即可得到结论，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件。
【难度系数】
0.8
要证明∠DAO=∠EAO，即证明AO平分∠BAC，根据角平分线的判定定理，只需证明点O到AB、AC的距离相等，也就是OD=OE。观察OD、OE所在的△BOD和△COE，已知OB=OC，由CD⊥AB、BE⊥AC可得∠ODB=∠OEC=90°，再结合对顶角∠BOD=∠COE，可通过AAS判定两三角形全等，得到OD=OE，即可推出待证结论。
【解析】
证明：
∵ $CD ⊥ AB$，$BE ⊥ AC$，
∴ $∠ODB=∠OEC=90°$。
在$△BOD$和$△COE$中，
$\begin{cases}∠ODB=∠OEC, \\∠BOD=∠COE, \\OB=OC,\end{cases}$
∴ $△BOD≌△COE$（AAS），
∴ $OD=OE$。
∵ $OD⊥AB$，$OE⊥AC$，
∴ 点O在∠BAC的角平分线上，即$∠ DAO=∠ EAO$。
【答案】
证明：因为$CD⊥AB$，$BE⊥AC$，
所以$∠ODB=∠OEC=90°$。
在$△BOD$和$△COE$中，
$\begin{cases}∠ODB=∠OEC, \\∠BOD=∠COE, \\OB=OC,\end{cases}$
所以$△BOD≌△COE$（AAS）。
所以$OD=OE$. 所以$∠DAO=∠EAO$。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）；全等三角形的性质；角平分线的判定
【点评】
本题是全等三角形与角平分线综合考查的基础题型，解题关键是先利用已知的垂直、对顶角相等、边相等的条件证明三角形全等，得到点到角两边的距离相等后，结合角平分线的判定即可得到结论，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件。
【难度系数】
0.8
