1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=90°$，$AB=2$，$BC=5$，$BD$是$∠ ABC$的平分线，设$△ ABD$和$△ BDC$的面积分别是$S_1$，$S_2$，则$S_1:S_2$等于（）


A.$5:2$
B.$2:5$
C.$1:2$
D.$1:5$

1. B

【分析】
要计算两个三角形的面积比，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。观察图形，D在∠ABC的平分线BD上，且∠A=90°，因此D到AB的距离就是AD，我们过D作DE⊥BC于E，可得DE=AD。此时△ABD以AB为底、高为AD，△BDC以BC为底、高为DE，两个三角形的高相等，因此面积比就等于对应底的长度比，代入已知边长即可求出比值。
【解析】
过点D作DE⊥BC，垂足为E。
∵BD是∠ABC的平分线，∠A=90°，即DA⊥AB，DE⊥BC
∴根据角平分线的性质，得AD=DE
∵$S_1=\frac{1}{2} × AB × AD$，$S_2=\frac{1}{2} × BC × DE$
∴$S_1:S_2=(\frac{1}{2} × AB × AD):(\frac{1}{2} × BC × DE)=AB:BC$
又
∵AB=2，BC=5
∴$S_1:S_2=2:5$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算
【点评】
本题侧重考查角平分线性质的灵活应用，解题的核心是通过角平分线的性质得到两个三角形的高相等，从而将面积比转化为对应底的边长比，解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8

2. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是。

2. 30

【分析】
要求四边形ABCD的面积，可将其分割为△ABD和△BCD的面积之和求解。已知BD平分∠ABC，∠BCD=90°，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，我们过D作AB的垂线段，该垂线段长度等于CD的长度，进而可分别求出两个三角形的面积，相加即可得到四边形的面积。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E。
∵ BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，
∴ DE=CD=4（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
计算两个三角形的面积：
$S_{△ BCD}=\frac{1}{2} × BC × CD = \frac{1}{2} × 9 × 4 = 18$，
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12$，
因此四边形ABCD的面积为$S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = 12 + 18 = 30$。
【答案】
30
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积计算，割补法求面积
【点评】
本题的解题核心是利用角平分线的性质作辅助线，将不规则四边形的面积转化为两个易求的三角形面积之和，解题时要熟练掌握角平分线的性质，灵活运用割补法处理不规则图形的面积问题。
【难度系数】
0.7

3. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$BC=10$，$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$，且$BD:DC=3:2$，则点$D$到$AB$的距离为。

3. 4

【分析】
首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。题目要求点D到AB的距离，已知AD是∠BAC的平分线，因此点D到AB的距离等于点D到AC的距离。观察图形可知∠C=90°，即DC⊥AC，因此DC的长度就是点D到AC的距离，所以只需先根据BC的长度和BD:DC的比值求出DC的长度即可。
【解析】
解：已知$BC=10$，$BD:DC=3:2$，
则$DC$的长度为：$DC=BC×\frac{2}{3+2}=10×\frac{2}{5}=4$。
因为$AD$平分$∠BAC$，$∠C=90°$（即$DC⊥ AC$），根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以点D到AB的距离 = DC = 4。
【答案】
4
【知识点】
角平分线的性质，比例的计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质，将所求的点到直线的距离转化为已知可求的线段长度，避免不必要的复杂计算。
【难度系数】
0.8