19. 如图,在$△ABC$中,点E在AC上,点F在BC上,点D,G在AB上,连接GE,DC,DF,且$DF// AC,∠CDF+∠CEG= 180^{\circ }$.
(1) 试说明$EG// CD$;
(2) 若DF是$∠BDC$的平分线,$∠A= 40^{\circ }$,求$∠BGE$的度数.
(1) 试说明$EG// CD$;
(2) 若DF是$∠BDC$的平分线,$∠A= 40^{\circ }$,求$∠BGE$的度数.
答案
(1) 因为 $ DF // AC $，所以 $ \angle CDF = \angle ECD $。因为 $ \angle CDF + \angle CEG = 180^{\circ} $，所以 $ \angle ECD + \angle CEG = 180^{\circ} $。所以 $ EG // CD $
(2) 因为 $ DF // AC $，所以 $ \angle A = \angle BDF $。因为 $ \angle A = 40^{\circ} $，所以 $ \angle BDF = 40^{\circ} $。因为 $ DF $ 是 $ \angle BDC $ 的平分线，所以 $ \angle BDC = 2\angle BDF = 80^{\circ} $。由 (1) 知，$ EG // CD $，所以 $ \angle BGE = \angle BDC = 80^{\circ} $
(2) 因为 $ DF // AC $，所以 $ \angle A = \angle BDF $。因为 $ \angle A = 40^{\circ} $，所以 $ \angle BDF = 40^{\circ} $。因为 $ DF $ 是 $ \angle BDC $ 的平分线，所以 $ \angle BDC = 2\angle BDF = 80^{\circ} $。由 (1) 知，$ EG // CD $，所以 $ \angle BGE = \angle BDC = 80^{\circ} $
20. (分类讨论思想)如图,直线$AB// CD$,直线l与直线AB,CD分别交于点E,F,P是射线EA上的一个动点(不包括端点E),将$△EPF$沿PF折叠,使顶点E落在点Q处.
(1) 若$∠PEF= 48^{\circ }$,点Q恰好落在其中一条平行线上,则$∠EFP$的度数为____;
(2) 若$∠PEF= 75^{\circ },∠CFQ= \frac {1}{2}∠PFC$,求$∠EFP$的度数.
(1) 若$∠PEF= 48^{\circ }$,点Q恰好落在其中一条平行线上,则$∠EFP$的度数为____;
(2) 若$∠PEF= 75^{\circ },∠CFQ= \frac {1}{2}∠PFC$,求$∠EFP$的度数.
答案
(1) $42^{\circ}$ 或 $66^{\circ}$ (2) ① 如图①，当点 $ Q $ 在平行线 $ AB $，$ CD $ 之间时，设 $ \angle PFQ = x $。由折叠的性质，得 $ \angle EFP = x $。因为 $ \angle CFQ = \frac{1}{2}\angle PFC $，所以 $ \angle PFQ = \angle CFQ = x $。因为 $ AB // CD $，所以 $ \angle AEF + \angle CFE = 180^{\circ} $，即 $ 75^{\circ} + x + x + x = 180^{\circ} $。所以 $ x = 35^{\circ} $。所以 $ \angle EFP = 35^{\circ} $。② 如图②，当点 $ Q $ 在 $ CD $ 的下方时，设 $ \angle CFQ = y $。因为 $ \angle CFQ = \frac{1}{2}\angle PFC $，所以 $ \angle PFC = 2y $。所以 $ \angle PFQ = 3y $。由折叠的性质，得 $ \angle EFP = \angle PFQ = 3y $。因为 $ AB // CD $，所以 $ \angle AEF + \angle CFE = 180^{\circ} $，即 $ 75^{\circ} + 2y + 3y = 180^{\circ} $。所以 $ y = 21^{\circ} $。所以 $ \angle EFP = 3y = 63^{\circ} $。综上所述，$ \angle EFP $ 的度数为 $ 35^{\circ} $ 或 $ 63^{\circ} $
21. (新考法·探究题)如图,$∠AOB= 120^{\circ }$,射线OC从OA开始,绕点O按逆时针方向旋转,旋转的速度为每分钟$20^{\circ }$;射线OD从OB开始,绕点O按逆时针方向旋转,旋转的速度为每分钟$5^{\circ }$,射线OC和OD同时旋转,设旋转的时间为t分钟$(0≤t≤15)$.
(1) 当$t= $____时,射线OC与OD重合.
(2) 当t为何值时,射线$OC⊥OD$?
(3) 试探索:在射线OC与OD旋转的过程中,是否存在某个时刻,使得射线OC,OB,OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线? 若存在,请求出所有满足题意的t的值;若不存在,请说明理由.
(1) 当$t= $____时,射线OC与OD重合.
(2) 当t为何值时,射线$OC⊥OD$?
(3) 试探索:在射线OC与OD旋转的过程中,是否存在某个时刻,使得射线OC,OB,OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线? 若存在,请求出所有满足题意的t的值;若不存在,请说明理由.
答案
(1) 8 (2) 因为 $ OC \perp OD $，所以 $ \angle COD = 90^{\circ} $。由题意，得 $ 20t + 90 = 120 + 5t $，解得 $ t = 2 $；或 $ 20t - 90 = 120 + 5t $，解得 $ t = 14 $。所以当 $ t $ 的值为 2 或 14 时，射线 $ OC \perp OD $ (3) 存在 ① 当 $ OB $ 平分 $ \angle COD $ 时，$ \angle COB = \angle DOB $，即 $ 120 - 20t = 5t $，解得 $ t = 4.8 $。② 当 $ OC $ 平分 $ \angle BOD $ 时，$ \angle COB = \angle COD $，即 $ 20t - 120 = 5t + 120 - 20t $，解得 $ t = \frac{48}{7} $。③ 当 $ OD $ 平分 $ \angle BOC $ 时，$ \angle DOB = \angle DOC $，即 $ 5t = 20t - 120 - 5t $，解得 $ t = 12 $。综上所述，当 $ t $ 的值为 4.8 或 $ \frac{48}{7} $ 或 12 时，射线 $ OC $，$ OB $，$ OD $ 中的某一条射线是另两条射线所夹角的平分线
