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8. (2023·陕西)在同一平面直角坐标系中,函数$y=ax$和$y=x+a$(a为常数,$a＜0$)的图象可能是 (
D
)答案
8.D
解析
解：
∵ $a ＜ 0$，
∴ 函数 $y = ax$ 的图象经过第二、四象限；
函数 $y = x + a$ 的图象斜率为 $1 ＞ 0$（经过第一、三象限），截距 $a ＜ 0$（与 $y$ 轴交于负半轴）。
综上，符合条件的图象为选项 D。
D
∵ $a ＜ 0$，
∴ 函数 $y = ax$ 的图象经过第二、四象限；
函数 $y = x + a$ 的图象斜率为 $1 ＞ 0$（经过第一、三象限），截距 $a ＜ 0$（与 $y$ 轴交于负半轴）。
综上，符合条件的图象为选项 D。
D
9. (2023·苏州)已知一次函数$y=kx+b$的图象经过点$(1,3)$和$(-1,2)$,则$k^{2}-b^{2}$的值为
$-6$
.答案
9.$-6$
解析
解：将点$(1,3)$和$(-1,2)$代入$y=kx+b$，得
$\begin{cases}k + b = 3 \\-k + b = 2\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k = \frac{1}{2} \\b = \frac{5}{2}\end{cases}$
$k^2 - b^2=(k + b)(k - b)=3×\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\right)=3×(-2)=-6$
$-6$
$\begin{cases}k + b = 3 \\-k + b = 2\end{cases}$
解得
$\begin{cases}k = \frac{1}{2} \\b = \frac{5}{2}\end{cases}$
$k^2 - b^2=(k + b)(k - b)=3×\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\right)=3×(-2)=-6$
$-6$
10. (2024·广安)如图,直线$y=2x+2$与x轴、y轴分别相交于点A,B,将$\triangle AOB$绕点A按逆时针方向旋转$90^{\circ }$得到$\triangle ACD$,则点D的坐标为
$(-3,1)$
.答案
10.$(-3,1)$
解析
解：对于直线$y = 2x + 2$，
令$y = 0$，则$2x + 2 = 0$，解得$x=-1$，故点$A(-1,0)$；
令$x = 0$，则$y=2$，故点$B(0,2)$。
$\triangle AOB$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$\triangle ACD$，则$AD = AO$，$\angle OAD=90°$。
$AO = |-1|=1$，设点$D(x,y)$。
$\overrightarrow{AO}=(1,0)$，$\overrightarrow{AD}=(x + 1,y)$，旋转后$\overrightarrow{AD}=(-0,1)=(0,1)$（逆时针旋转$90°$，向量$(a,b)$变为$(-b,a)$），即$x + 1=0$，$y=1$，解得$x=-1$，$y=1$。又因$AC = AB$，$\angle BAC=90°$，$AB=\sqrt{(0 + 1)^2+(2 - 0)^2}=\sqrt{5}$，$\overrightarrow{AB}=(1,2)$，旋转后$\overrightarrow{AC}=(-2,1)$，则点$C(-1-2,0 + 1)=(-3,1)$，综上点$D$坐标为$(-3,1)$。
$(-3,1)$
令$y = 0$，则$2x + 2 = 0$，解得$x=-1$，故点$A(-1,0)$；
令$x = 0$，则$y=2$，故点$B(0,2)$。
$\triangle AOB$绕点$A$逆时针旋转$90°$得到$\triangle ACD$，则$AD = AO$，$\angle OAD=90°$。
$AO = |-1|=1$，设点$D(x,y)$。
$\overrightarrow{AO}=(1,0)$，$\overrightarrow{AD}=(x + 1,y)$，旋转后$\overrightarrow{AD}=(-0,1)=(0,1)$（逆时针旋转$90°$，向量$(a,b)$变为$(-b,a)$），即$x + 1=0$，$y=1$，解得$x=-1$，$y=1$。又因$AC = AB$，$\angle BAC=90°$，$AB=\sqrt{(0 + 1)^2+(2 - 0)^2}=\sqrt{5}$，$\overrightarrow{AB}=(1,2)$，旋转后$\overrightarrow{AC}=(-2,1)$，则点$C(-1-2,0 + 1)=(-3,1)$，综上点$D$坐标为$(-3,1)$。
$(-3,1)$
11. 已知第一象限内的点P在直线$y=-x+5$上,点A的坐标为$(4,0)$,设$\triangle AOP$的面积为S.
(1)当点P的横坐标为2时,求$\triangle AOP$的面积;
(2)当$S=4$时,求点P的坐标;
(3)求S关于x的函数表达式,写出x的取值范围,并画出函数图象.
(1)当点P的横坐标为2时,求$\triangle AOP$的面积;
(2)当$S=4$时,求点P的坐标;
(3)求S关于x的函数表达式,写出x的取值范围,并画出函数图象.
答案
11.
(1)把$x = 2$代入$y = -x + 5$，得$y = -2 + 5 = 3$，
∴点$P$的坐标为$(2,3)$.
∵点$A$的坐标为$(4,0)$，
∴$OA = 4$，
∴$S_{\triangle AOP} = \frac{1}{2}OA\cdot|y_P| = \frac{1}{2}×4×3 = 6$
(2)当$S = 4$时，$\frac{1}{2}OA\cdot|y_P| = 4$.
∵点$P$在第一象限内，$A(4,0)$，
∴$OA = 4$，$y_P ＞ 0$，
∴$y_P = 2$.在$y = -x + 5$中，令$y = 2$，
得$x = 3$，
∴点$P$的坐标为$(3,2)$
(3)设$P(x,-x + 5)$.根据题意，得$S = \frac{1}{2}OA\cdot|y_P| = \frac{1}{2}×4\cdot y_P = 2(-x + 5)$.
∵点$P$在第一象限，
∴$\begin{cases}x ＞ 0,\\-x + 5 ＞ 0,\end{cases}$
解得$0 ＜ x ＜ 5$，
∴$S$关于$x$的函数表达式为$S = -2x + 10(0 ＜ x ＜ 5)$，函数图象如图所示
12. 如图①,点A的坐标是$(0,1)$,B是x轴正半轴上的一个动点,以AB为边作等腰直角三角形ABC,使点C在第一象限内,$∠BAC=90^{\circ }$.设点B的横坐标为x,点C的纵坐标为y.
(1)求y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围;
(2)在图②中画出(1)中函数的图象.
(1)求y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围;
(2)在图②中画出(1)中函数的图象.
答案
12.
(1)如图①，过点$C$作$CH \perp y$轴，垂足为$H$，则$\angle AHC = 90^{\circ}$.
∵点$C$的纵坐标为$y$，
∴$OH = y$.
∵点$A$的坐标是$(0,1)$，
∴$OA = 1$.
∵$\triangle ABC$是以$AB$为边的等腰直角三角形，
∴$AC = BA$.
∵$\angle BAC = 90^{\circ}$，
∴$\angle HAC + \angle OAB = 90^{\circ}$.
∵$\angle BOA = 90^{\circ}$，
∴$\angle OBA + \angle OAB = 90^{\circ}$，
∴$\angle HAC = \angle OBA$.在$\triangle HAC$和$\triangle OBA$中，$\begin{cases}\angle AHC = \angle BOA,\\\angle HAC = \angle OBA,\\AC = BA,\end{cases}$
∴$\triangle HAC \cong \triangle OBA(AAS)$，
∴$AH = BO$.
∵点$B$的横坐标为$x$，
∴$AH = BO = x$，
∴$OH = OA + AH = 1 + x$，
∴$y = x + 1$.
∵$B$是$x$轴正半轴上的一个动点，
∴自变量$x$的取值范围是$x ＞ 0$
(2)如图②所示 解析：不妨取点$(0,1)$，$(1,2)$画图.画图时，注意自变量的取值范围.
