15. 【问题背景】小李同学在学习了这章内容后,他对三角形的三边关系及三角形的中线特别感兴趣,下面是他总结的一些题目笔记。请同学们帮他分析一下。
【新知探究】如图①,在等腰三角形$ABC$中,$AB$,$AC是\triangle ABC$的腰。已知三角形其中两条边的长度分别为$4 cm$,$9 cm$,求$\triangle ABC$的周长。小李同学经过计算,得出的$\triangle ABC的周长是17 cm或22 cm$。
(1)小李同学的答案是否正确？如果不正确,请写出正确的答案。
【新知拓展】根据(1)的答案,小李同学继续探索三角形中线的重要作用。
如图②,当添加条件：$BD是等腰三角形ABC$的中线时,求$\triangle ABD与\triangle CBD$的周长差。
(2)请你帮小李同学写出解答过程。
【拓展应用】结合(2)的解答过程,小李同学继续探索三角形中线在一般三角形中是否具有同样作用。
如图③,在$\triangle ABC$中,已知$AD是\triangle ABC$的中线(且$AB＞AC$),其中$AB = m$,$AC = n$。$\triangle ABD与\triangle ACD$的周长差是多少？
(3)请用含$m$,$n的代数式表示出\triangle ABD与\triangle ACD$的周长差。

解：(1) 小李同学的答案不正确。正确答案是 $\triangle ABC$ 的周长是 22 cm。理由如下：
当长度为 4 cm 的边是等腰三角形 $ABC$ 的腰时，
此时该等腰三角形 $ABC$ 的三边长分别为 4 cm，4 cm，9 cm。
因为 $4 + 4 ＜ 9$，不符合构成三角形的条件，
所以长度为 4 cm 的边不能是等腰三角形 $ABC$ 的腰，只能是底边；
当长度为 4 cm 的边是等腰三角形 $ABC$ 的底边时，
此时该等腰三角形 $ABC$ 的三边长分别为 9 cm，9 cm，4 cm，
符合构成三角形的条件，
所以等腰三角形 $ABC$ 的周长是 $9 + 9 + 4 = 22(cm)$。
(2) 由(1)知 $\triangle ABC$ 的腰长 $AB = AC = 9$ cm，底边 $BC = 4$ cm。
又因为 $BD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线，
所以 $AD = CD = \frac{1}{2}AC = 4.5$ cm，
所以 $\triangle ABD$ 的周长为 $AB + BD + AD = 9$ cm $+ 4.5$ cm $+ BD = 13.5$ cm $+ BD$。
又因为 $\triangle CBD$ 的周长为 $BC + BD + CD = 4$ cm $+ 4.5$ cm $+ BD = 8.5$ cm $+ BD$，
所以 $\triangle ABD$ 与 $\triangle CBD$ 的周长差是 $(13.5 + BD) - (8.5 + BD) = 5(cm)$。
(3) 因为 $\triangle ABD$ 的周长 $= AB + AD + BD$，$\triangle ACD$ 的周长 $= AC + AD + CD$，
$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的中线(且 $AB ＞ AC$)，
所以 $BD = CD$，
所以 $\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 的周长差 $= (AB + AD + BD) - (AC + AD + CD) = AB - AC = m - n$。