9. 传统文化（2024·兰州）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图①是陈列在展览馆的仿真模型. 图②是模型驱动部分的示意图，其中$\odot M,\odot N$的半径分别是1 cm 和 10 cm，当$\odot M$顺时针转动 3 周时，$\odot N$上的点$P$随之旋转$n°,则n=$.

9.108

10. 如图,将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$120°$得到$△ A'B'C$,已知$AC=3,BC=2$,则线段$AB$扫过的图形(阴影部分)的面积为.

10.$\frac{5}{3}π$

11.(2025·盐城一模)公元前四世纪,希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题:如图,$AB$为$\odot O$的直径,过圆心$O$作$OC ⊥ AB$,交$\odot O$于点$C$,以点$C$为圆心,$CA$的长为半径作$\overset{\frown}{AB}$,若$S_{\mathrm{阴}}=4\ \mathrm{cm}^2$,则$S_{△ ABC}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.

11.4

12. (1) 如图①,扇形 OAB 的半径为 1,以点 O 为圆心的弧 CD 平分扇形 OAB 的面积,求 OC的长;
(2) 如图②,在扇形 OAB 中,以点 O 为圆心作弧 CD(点 C 在 OA 上,点 D 在 OB 上),使弧 CD平分扇形 OAB 的面积.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

12.解:(1)由题意,可知$\dfrac{S_{扇形OCD}}{S_{扇形OAB}}=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore\dfrac{S_{扇形OCD}}{S_{扇形OAB}}=\dfrac{\dfrac{nπ· OC^{2}}{360}}{\dfrac{nπ· OA^{2}}{360}}=\dfrac{1}{2}$,
$\therefore\dfrac{OC^{2}}{OA^{2}}=\dfrac{1}{2}.\because OA=1$,
$\therefore OC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.$
(2)如答图,弧 CD 即为所求.

13. 如图,$\odot O$的直径为 10,$P$ 是弦 $AB$ 所对优弧上一动点,连接 $AP,BP$,过点 $A$ 作 $AH ⊥ BP$,垂足为 $H$.
(1)若$∠ P=45°$,求弦 $AB$ 的长及$\overset{\frown}{AB}$的长；
(2)若 $AB=5$,求点 $H$ 到 $AP$ 的距离的最大值.

13.解:(1)如答图,连接OA,OB,
$\because\odot O$的直径为10,
$\therefore OA=OB=5.$
$\because∠ P=45°,$
$\therefore∠ AOB=2∠ P=90°,$
$\therefore AB=\sqrt{OA^{2}+OB^{2}}=\sqrt{5^{2}+5^{2}}=$$5\sqrt{2}$,$\overset{\frown}{AB}$的长为$\dfrac{90π×5}{180}=\dfrac{5}{2}π.$
(2)$\because AB=OA=OB=5,\therefore△ AOB$为等边三角形,
$\therefore∠ AOB=60°,\therefore∠ P=\dfrac{1}{2}∠ AOB=30°.$
$\because AH⊥ BP,\therefore AH=\dfrac{1}{2}AP,PH=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AP.$
设点H到AP的距离为h,则$\dfrac{1}{2}AH· PH=\dfrac{1}{2}AP· h,$
$\therefore h=\dfrac{\sqrt{3}}{4}AP.$
如果要h最大,那么只需AP的长度最大即可,故当AP为直径时,h最大,即h的最大值为$\dfrac{\sqrt{3}}{4}×10=\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$,即点H到AP的距离的最大值为$\dfrac{5}{2}\sqrt{3}.$