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12. 已知代数式 $ ax^5 + bx^3 + 3x + c $，当 $ x = 0 $ 时，该代数式的值为-1.
(1) 求c的值；
(2) 已知当 $ x = 1 $ 时，该代数式的值为-1，试求 $ a + b + c $ 的值；
(3) 已知当 $ x = 3 $ 时，该代数式的值为9，试求当 $ x = -3 $ 时该代数式的值.
(1) 求c的值；
(2) 已知当 $ x = 1 $ 时，该代数式的值为-1，试求 $ a + b + c $ 的值；
(3) 已知当 $ x = 3 $ 时，该代数式的值为9，试求当 $ x = -3 $ 时该代数式的值.
答案
(1)因为当$x=0$时,该代数式的值为-1,所以$c=-1$.
(2)因为当$x=1$时,该代数式的值为-1,所以$a+b+3+c=-1$,所以$a+b+c=-4$.
(3)因为当$x=3$时,该代数式的值为9,所以$243a+27b+9+c=9$,所以$243a+27b+9=9-c$.
则当$x=-3$时,$ax^5+bx^3+3x+c=-243a-27b-9+c=-(243a+27b+9)+c=-(9-c)+c=c-9+c=2c-9$,由(1)得$c=-1$,所以原式$=2×(-1)-9=-11$.
(2)因为当$x=1$时,该代数式的值为-1,所以$a+b+3+c=-1$,所以$a+b+c=-4$.
(3)因为当$x=3$时,该代数式的值为9,所以$243a+27b+9+c=9$,所以$243a+27b+9=9-c$.
则当$x=-3$时,$ax^5+bx^3+3x+c=-243a-27b-9+c=-(243a+27b+9)+c=-(9-c)+c=c-9+c=2c-9$,由(1)得$c=-1$,所以原式$=2×(-1)-9=-11$.
13. (1)若$a^2 + 2ab = -10$，$b^2 + 2ab = 16$，则多项式$a^2 - b^2$的值为
-26
。答案
(1)-26 解析:因为$a^2+2ab=-10$,$b^2+2ab=16$,所以$a^2-b^2=(a^2+2ab)-(b^2+2ab)=-10-16=-26$.
(2)若$a^2+ab=9$，$ab-b^2=-16$，则代数式$2a^2+3ab-b^2$的值为
2
。答案
(2)2 解析:因为$a^2+ab=9$,所以$2a^2+2ab=18$,所以$2a^2+3ab-b^2=(2a^2+2ab)+(ab-b^2)=18-16=2$.
14. 已知$a^2 - ab = 3$，$b^2 + ab = 2$，求代数式$(3a^2 - 2ab - b^2) - (a^2 - 2ab - 3b^2)$的值。
答案
$(3a^2-2ab-b^2)-(a^2-2ab-3b^2)=3a^2-2ab-b^2-a^2+2ab+3b^2=2a^2+2b^2$.因为$a^2-ab=3$,$b^2+ab=2$,两式相加得$a^2-ab+b^2+ab=a^2+b^2=5$,所以原式$=2(a^2+b^2)=2×5=10$.
15. 先化简,再求值:$-3(ab - a^2)-[2b^2-(5ab - a^2)-2ab]$,其中$|a^2 - b^2 -1|$与$(ab +2)^2$互为相反数.
答案
因为$|a^2-b^2-1|$与$(ab+2)^2$互为相反数,所以$|a^2-b^2-1|+(ab+2)^2=0$,所以$a^2-b^2-1=0$,$ab+2=0$,所以$a^2-b^2=1$,$ab=-2$.
原式$=-3ab+3a^2-2b^2+5ab-a^2+2ab=2a^2-2b^2+4ab=2(a^2-b^2)+4ab=2-8=-6$.
原式$=-3ab+3a^2-2b^2+5ab-a^2+2ab=2a^2-2b^2+4ab=2(a^2-b^2)+4ab=2-8=-6$.
16. 若$(x-1)^5 = a_0 - a_1x + a_2x^2 - a_3x^3 + a_4x^4 - a_5x^5$.
(1) 当$x=0$时，$a_0=$
(2) $-a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 =$
(1) 当$x=0$时，$a_0=$
-1
;(2) $-a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 =$
1
.答案
(1)-1 解析:当$x=0$时,$(0-1)^5=a_0$,所以$a_0=-1$.
(2)1 解析:当$x=1$时,$(1-1)^5=a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5$,所以$0=-1-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5$,所以$-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=1$.
(2)1 解析:当$x=1$时,$(1-1)^5=a_0-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5$,所以$0=-1-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5$,所以$-a_1+a_2-a_3+a_4-a_5=1$.
17. 设$(3x-1)^5=a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$，则$a_1+a_3+a_5$的值为
528
.答案
528 解析:令$x=1$,则$32=a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$ ①,令$x=-1$,则$-1024=-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0$ ②,①$-$②,得$1056=2a_1+2a_3+2a_5$,所以$a_1+a_3+a_5=528$.
18. 已知$(x^2 - x + 1)^3 = a_6x^6 + a_5x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$. 求：
(1) $a_6 + a_5 + a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0$的值；
(2) $a_6 + a_4 + a_2 + a_0$的值.
(1) $a_6 + a_5 + a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0$的值；
(2) $a_6 + a_4 + a_2 + a_0$的值.
答案
(1)当$x=1$时,$a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=(1^2-1+1)^3=1$.
(2)由(1)得$a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=1$ ①,当$x=-1$时,$a_6-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=[(-1)^2-(-1)+1]^3=27$ ②,①+②,得$2(a_6+a_4+a_2+a_0)=1+27=28$,所以$a_6+a_4+a_2+a_0=14$.
(2)由(1)得$a_6+a_5+a_4+a_3+a_2+a_1+a_0=1$ ①,当$x=-1$时,$a_6-a_5+a_4-a_3+a_2-a_1+a_0=[(-1)^2-(-1)+1]^3=27$ ②,①+②,得$2(a_6+a_4+a_2+a_0)=1+27=28$,所以$a_6+a_4+a_2+a_0=14$.
