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12. (2025·无锡期中)有理数a,b,c在数轴上表示的点如图所示，化简$|a+b|-|a-c|-2|b+c|=$
$-3b-3c$
。答案
12. $-3b-3c$ 解析:由数轴得 $a＜b＜0＜c,|b|＜|c|$,所以 $a+b＜0,a-c＜0,b+c＞0$,所以 $|a+b|-|a-c|-2|b+c|=-(a+b)+a-c-2(b+c)=-a-b+a-c-2b-2c=-3b-3c$.
13. (1)(2025·连云港期末)先化简,再求值:
$5x^2 - [2xy - 3(\frac{1}{3}xy -5)+6x^2]$,其中$x=-2$,
$y=\frac{1}{2}$;
(2)(2026·扬州校级月考)先化简,再求值:
已知$P=a^2+4ab+b^2$,$Q=a^2-2ab -b^2$,求$2P - [(Q-2P)-3(-P+Q)]$的值,其中$a=\frac{2}{3}$,
$b=-2$.
$5x^2 - [2xy - 3(\frac{1}{3}xy -5)+6x^2]$,其中$x=-2$,
$y=\frac{1}{2}$;
(2)(2026·扬州校级月考)先化简,再求值:
已知$P=a^2+4ab+b^2$,$Q=a^2-2ab -b^2$,求$2P - [(Q-2P)-3(-P+Q)]$的值,其中$a=\frac{2}{3}$,
$b=-2$.
答案
13. (1) 原式$=5x^2-(2xy-xy+15+6x^2)=5x^2-2xy+xy-15-6x^2=-x^2-xy-15$,当 $x=-2,y=\frac{1}{2}$ 时,原式$=-(-2)^2-(-2)×\frac{1}{2}-15=-4-(-1)-15=-18$.
(2)$2P-[(Q-2P)-3(-P+Q)]=2P-(Q-2P+3P-3Q)=2P-Q+2P-3P+3Q=P+2Q$,因为 $P=a^2+4ab+b^2$,$Q=a^2-2ab-b^2$,所以原式$=a^2+4ab+b^2+2(a^2-2ab-b^2)=a^2+4ab+b^2+2a^2-4ab-2b^2=3a^2-b^2$,当 $a=\frac{2}{3},b=-2$ 时,原式$=3×(\frac{2}{3})^2-(-2)^2=3×\frac{4}{9}-4=-\frac{8}{3}$.
(2)$2P-[(Q-2P)-3(-P+Q)]=2P-(Q-2P+3P-3Q)=2P-Q+2P-3P+3Q=P+2Q$,因为 $P=a^2+4ab+b^2$,$Q=a^2-2ab-b^2$,所以原式$=a^2+4ab+b^2+2(a^2-2ab-b^2)=a^2+4ab+b^2+2a^2-4ab-2b^2=3a^2-b^2$,当 $a=\frac{2}{3},b=-2$ 时,原式$=3×(\frac{2}{3})^2-(-2)^2=3×\frac{4}{9}-4=-\frac{8}{3}$.
14. (2026·达州校级月考)某商场开展春节促销活动出售A,B两种商品,活动方案有下面两种:
方案一:A商品每件进价70元,每件售价100元;B商品每件进价30元,每件售价40元.
方案二:所购商品一律按进价加价20%销售.
(1)某单位购买A商品10件,B商品20件,选用哪种方案划算?能便宜多少钱?
(2)某单位购买A商品x件(x为正整数),购买B商品的件数比A商品件数的3倍多2件,该单位选择哪种方案更划算?请说明理由.
方案一:A商品每件进价70元,每件售价100元;B商品每件进价30元,每件售价40元.
方案二:所购商品一律按进价加价20%销售.
(1)某单位购买A商品10件,B商品20件,选用哪种方案划算?能便宜多少钱?
(2)某单位购买A商品x件(x为正整数),购买B商品的件数比A商品件数的3倍多2件,该单位选择哪种方案更划算?请说明理由.
答案
14. (1) 方案一费用:$10×100+20×40=1000+800=1800$(元).
方案二费用:$(10×70+20×30)×(1+20\%)=(700+600)×1.2=1300×1.2=1560$(元).
因为 $1800＞1560$,$1800-1560=240$(元),所以选用方案二划算,能便宜 240 元.
(2) 该单位选择方案二更划算.
理由:方案一费用:$100x+40(3x+2)=(220x+80)$元,方案二费用:$[70x+30(3x+2)]×(1+20\%)=(192x+72)$元,因为 $(220x+80)-(192x+72)=28x+8$,且 x 为正整数,所以 $28x+8＞0$,即 $220x+80＞192x+72$,所以该单位选择方案二更划算.
方案二费用:$(10×70+20×30)×(1+20\%)=(700+600)×1.2=1300×1.2=1560$(元).
因为 $1800＞1560$,$1800-1560=240$(元),所以选用方案二划算,能便宜 240 元.
(2) 该单位选择方案二更划算.
理由:方案一费用:$100x+40(3x+2)=(220x+80)$元,方案二费用:$[70x+30(3x+2)]×(1+20\%)=(192x+72)$元,因为 $(220x+80)-(192x+72)=28x+8$,且 x 为正整数,所以 $28x+8＞0$,即 $220x+80＞192x+72$,所以该单位选择方案二更划算.
15. 将式子 $4x+(3x-x)=4x+3x-x,4x-(3x-x)=4x-3x+x$ 分别反过来，你得到两个怎样的等式？
(1) 比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？
(2) 根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式 $-3x^5 -4x^2 +3x^3 -2$ 的值，把它的后两项放在：
①前面带有“+”号的括号里；
②前面带有“-”号的括号里.
(3) 在多项式 $x-y-z-m-n$ 中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”.例如：$(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n, x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n,···.$
下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有可能的“加算操作”最多能得到8种不同运算结果.
其中正确的有
(1) 比较你得到的等式，你能总结添括号的法则吗？
(2) 根据上面你总结出的添括号法则，不改变多项式 $-3x^5 -4x^2 +3x^3 -2$ 的值，把它的后两项放在：
①前面带有“+”号的括号里；
②前面带有“-”号的括号里.
(3) 在多项式 $x-y-z-m-n$ 中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”.例如：$(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n, x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n,···.$
下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有可能的“加算操作”最多能得到8种不同运算结果.
其中正确的有
①②③
.(填序号)答案
15. 将式子 $4x+(3x-x)=4x+3x-x,4x-(3x-x)=4x-3x+x$ 分别反过来,得到 $4x+3x-x=4x+(3x-x),4x-3x+x=4x-(3x-x)$.
(1) 添括号法则:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不改变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
(2) ①$-3x^5 -4x^2 +3x^3 -2=-3x^5-4x^2+(3x^3-2)$.
②$-3x^5 -4x^2 +3x^3 -2=-3x^5-4x^2-(-3x^3+2)$.
(3) ①②③ 解析:①$(x-y)-z-m-n=x-y-z-m-n$,与原式相等,故①正确;②因为在多项式 $x-y-z-m-n$ 中,可通过加括号改变 z,m,n 的符号,无法改变 x,y 的符号,故不存在任何“加算操作”,使其运算结果与原多项式之和为0,故②正确;③在多项式 $x-y-z-m-n$ 中,可通过加括号改变 z,m,n 的符号,加括号后只有加减两种运算,因为 $2×2×2=8$(种),所以所有可能的加括号的方法最多能得到 8 种不同的运算结果,故③正确.
(1) 添括号法则:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不改变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
(2) ①$-3x^5 -4x^2 +3x^3 -2=-3x^5-4x^2+(3x^3-2)$.
②$-3x^5 -4x^2 +3x^3 -2=-3x^5-4x^2-(-3x^3+2)$.
(3) ①②③ 解析:①$(x-y)-z-m-n=x-y-z-m-n$,与原式相等,故①正确;②因为在多项式 $x-y-z-m-n$ 中,可通过加括号改变 z,m,n 的符号,无法改变 x,y 的符号,故不存在任何“加算操作”,使其运算结果与原多项式之和为0,故②正确;③在多项式 $x-y-z-m-n$ 中,可通过加括号改变 z,m,n 的符号,加括号后只有加减两种运算,因为 $2×2×2=8$(种),所以所有可能的加括号的方法最多能得到 8 种不同的运算结果,故③正确.
