1. (2025·南京期末)下列各式中,是一元一次方程的是 ()

A.$5x - y = 8$
B.$1 = 3y$
C.$2x + \dfrac{1}{x} = 3x - 1$
D.$x^2 = 1$

B 解析:5x-y=8 未知数不是一个,不是“一元”,故 A 选项不符合题意;1=3y 为一元一次方程,故 B 选项符合题意;$2x+\frac{1}{x}=3x-1$分母中有未知数,不是整式方程,故 C 选项不符合题意;$x^2=1$的未知数次数不为1,不是“一次”,故 D 选项不符合题意.故选 B.

2. 下列方程中,解为$x=2$的一元一次方程是（）

A.$x^2 - 4 = 0$
B.$2 + 4x = 8$
C.$3x^2 - 1 = 2$
D.$4 - 2x = 0$

D 解析:将 x=2 分别代入得 A. 4-4=0,等式成立;B. 2+8=8,等式不成立;C. 12-1=2,等式不成立;D. 4-4=0,等式成立.但 A 选项$x^2-4=0$不是一元一次方程,则只有 D 选项满足题意.故选 D.

3. (2026·太原期中)若a,b互为相反数(a不为0),则关于x的一元一次方程$ax+b=0$的解是 ()

A.$x=1$
B.$x=-1$
C.$x=-1$或$x=1$
D.任意有理数

A 解析:因为 a,b 互为相反数,所以 a=-b. 因为 ax+b=0,所以 ax=-b,所以 -bx=-b,所以 x=1,故选 A.

4. 有一道解一元一次方程的题:$4x-(6□x)=-12$,“□”处为运算符号,在印刷时被油墨盖住了,查阅后面的答案得知这个方程的解是$x=-2$,那么“□”处应该是 ()

A.×
B.+
C.÷
D.-

B 解析:把 x=-2 代入 4x-(6x)=-12 得 4×(-2)-[6(-2)]=-12,6(-2)=4,因为 6+(-2)=4,所以“”处应该是“+”,故选 B.

5. (1)如果方程$2x^{n-3}+n=0$是关于$x$的一元一次方程，那么$n=$。
(2)(2026·镇江期末)若方程$(m-3)x^{|m-2|}+1=0$是一元一次方程，则$m=$。

5.(1)4 解析:因为方程$2x^{n-3}+n=0$是关于 x 的一元一次方程,所以 n-3=1,则 n=4.
(2)1 解析:因为关于 x 的方程$(m-3)x^{|m-2|}+1=0$是一元一次方程,所以 m-3≠0 且|m-2|=1,解得 m=1.

6. (2026·徐州校级月考)代数式$mx-n$的值随$x$取值的变化而变化，下表是当$x$取不同值时对应的整式的值：

则关于$x$的方程$-mx + n = 3$的解为$x=$.

-1 解析:因为 -mx+n=3,所以 mx-n=-3,由表格可知当 x=-1 时,mx-n=-3,所以关于 x 的方程 -mx+n=3 的解为 x=-1.

7. 若方程$ax+b=3$的解是$x=5$,则关于$x$的方程$a(x+2)+b=3$的解是.

x=3 解析:由题意可得当 x=5 时,等式 ax+b=3 成立,则要使得 a(x+2)+b=3 成立,应满足 x+2=5,解得 x=3.

8. 教材 P114 练习 T2 变式 解下列方程：
(1) $\frac{5}{2}x -7 = \frac{3}{2}x +1$；
(2) $-9x = 3 -3x$；
(3) $\frac{2}{5}x -8 = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}x$。

(1)利用等式的性质,$\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}x=1+7$,即 x=8,解得 x=8.
(2)利用等式的性质,-9x+3x=3,即-6x=3,解得$x=-\frac{1}{2}$.
(3)利用等式的性质,$\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}x=\frac{1}{4}+8$,即$\frac{3}{5}x=\frac{33}{4}$,解得$x=\frac{55}{4}$.

9. 新题型 新定义 (2025·吉林期中)定义:称关于$x$的方程$ax-b=0$与方程$bx-a=0(a,b$均为不等于$0$的常数)互为“反对方程”,例如:方程$2x-1=0$与方程$x-2=0$互为“反对方程”.
(1)若关于$x$的方程$2x-3=0$与方程$3x-c=0$互为“反对方程”,则$c=$;
(2)若关于$x$的方程$2x-3=d$与其“反对方程”的解都是整数,求整数$d$的值;
(3)已知关于$x$的一元一次方程$\frac{2026}{2027}x+5=m$的解为$x=-\frac{1}{2}$,那么关于$y$的一元一次方程$(m-5)(y+1)=\frac{2026}{2027}$的解为.

9.(1)2 解析:2x-3=0 与 3x-2=0 互为“反对方程”,则 c=2.
(2)2x-3=d 变形为 2x-(3+d)=0,由题意可知方程 2x-(3+d)=0 的“反对方程”为(3+d)x-2=0.解 2x-(3+d)=0,得$x=\frac{3+d}{2}$.解(3+d)x-2=0,得$x=\frac{2}{3+d}$.因为 2x-(3+d)=0 与(3+d)x-2=0 的解都是整数,所以$x=\frac{3+d}{2}$与$x=\frac{2}{3+d}$都是整数,且 d 为整数,所以当 d=-1 或-5 时,$\frac{3+d}{2}$与$\frac{2}{3+d}$都是整数,故整数 d 的值为-1 或-5.
(3)y=-3 解析:$\frac{2026}{2027}x+5=m$ 可变形为$\frac{2026}{2027}x-(m-5)=0$,由题意得,互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数,所以$(m-5)x-\frac{2026}{2027}=0$的解为 x=-2. 因为$(m-5)(y+1)=\frac{2026}{2027}$,所以 y+1=-2,解得 y=-3.