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1. 若$\sqrt{18}$与最简二次根式$\sqrt{m+1}$能合并，则$m$的值为（
A.0
B.1
C.2
D.3
B
）A.0
B.1
C.2
D.3
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确：能合并的二次根式是同类二次根式，判断同类二次根式的前提是先把所有二次根式化为最简形式，若最简后的被开方数相同，即为可合并的同类二次根式。解题步骤可分为三步：第一步化简$\sqrt{18}$为最简二次根式；第二步根据$\sqrt{m+1}$是最简且能与化简后的$\sqrt{18}$合并，可知两者被开方数相等，列等式；第三步解方程求出$m$的值即可。
【解析】
首先化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
已知$\sqrt{m+1}$是最简二次根式，且能与$\sqrt{18}$合并，说明二者是同类二次根式，即被开方数相等，因此可得：
$m+1=2$
解得$m=2-1=1$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；同类二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是掌握同类二次根式的判定规则，做题时要注意先将非最简二次根式化简后再判断是否为同类二次根式，本题已明确给出$\sqrt{m+1}$为最简二次根式，无需再验证其最简性。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确：能合并的二次根式是同类二次根式，判断同类二次根式的前提是先把所有二次根式化为最简形式，若最简后的被开方数相同，即为可合并的同类二次根式。解题步骤可分为三步：第一步化简$\sqrt{18}$为最简二次根式；第二步根据$\sqrt{m+1}$是最简且能与化简后的$\sqrt{18}$合并，可知两者被开方数相等，列等式；第三步解方程求出$m$的值即可。
【解析】
首先化简$\sqrt{18}$：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=\sqrt{9}×\sqrt{2}=3\sqrt{2}$
已知$\sqrt{m+1}$是最简二次根式，且能与$\sqrt{18}$合并，说明二者是同类二次根式，即被开方数相等，因此可得：
$m+1=2$
解得$m=2-1=1$
【答案】
B
【知识点】
二次根式的化简；同类二次根式的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是掌握同类二次根式的判定规则，做题时要注意先将非最简二次根式化简后再判断是否为同类二次根式，本题已明确给出$\sqrt{m+1}$为最简二次根式，无需再验证其最简性。
【难度系数】
0.8
2. 下列长度的三条线段中，能构成三角形的是
（
A.3,4,7
B.2,7,10
C.13,5,6
D.4,9,11
（
D
）A.3,4,7
B.2,7,10
C.13,5,6
D.4,9,11
答案
2.D
解析
【分析】
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了提高解题效率，我们可以用简便方法判断：先把三条线段的长度按从小到大排序，只需要计算较短两条线段的长度和，再和最长的线段长度比较，如果较短两边的和大于最长边，就能构成三角形，否则不能。接下来我们用这个方法逐个验证选项即可。
【解析】
判断三条线段能否构成三角形的简便规则：将三条线段长度从小到大排序，若较短两条的长度和大于最长边的长度，则可构成三角形，反之不可。
A选项：三条线段排序为3，4，7，较短两边和为3+4=7，等于最长边7，不能构成三角形，排除；
B选项：三条线段排序为2，7，10，较短两边和为2+7=9，9＜10，不能构成三角形，排除；
C选项：三条线段排序为5，6，13，较短两边和为5+6=11，11＜13，不能构成三角形，排除；
D选项：三条线段排序为4，9，11，较短两边和为4+9=13，13＞11，满足构成三角形的条件。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础考查题，掌握上述简便判断方法即可快速作答，需要注意构成三角形要求两边之和严格大于第三边，等于或小于均不符合要求。
【难度系数】
0.9
要判断三条线段能否构成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了提高解题效率，我们可以用简便方法判断：先把三条线段的长度按从小到大排序，只需要计算较短两条线段的长度和，再和最长的线段长度比较，如果较短两边的和大于最长边，就能构成三角形，否则不能。接下来我们用这个方法逐个验证选项即可。
【解析】
判断三条线段能否构成三角形的简便规则：将三条线段长度从小到大排序，若较短两条的长度和大于最长边的长度，则可构成三角形，反之不可。
A选项：三条线段排序为3，4，7，较短两边和为3+4=7，等于最长边7，不能构成三角形，排除；
B选项：三条线段排序为2，7，10，较短两边和为2+7=9，9＜10，不能构成三角形，排除；
C选项：三条线段排序为5，6，13，较短两边和为5+6=11，11＜13，不能构成三角形，排除；
D选项：三条线段排序为4，9，11，较短两边和为4+9=13，13＞11，满足构成三角形的条件。
【答案】
D
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础考查题，掌握上述简便判断方法即可快速作答，需要注意构成三角形要求两边之和严格大于第三边，等于或小于均不符合要求。
【难度系数】
0.9
3. 下列算式中，计算正确的是（
A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = 6$
C.$2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
D.$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = 4$
C
）A.$\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
B.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = 6$
C.$2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$
D.$\sqrt{8} ÷ \sqrt{2} = 4$
答案
3.C
解析
【分析】
解答这道题需要先掌握二次根式的四则运算法则：1.二次根式加减：只有被开方数相同的同类二次根式可以合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变；2.二次根式乘除：被开方数相乘除，根指数不变，最后将结果化为最简形式。接下来我们逐一验证每个选项的运算是否符合上述规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，所以该运算错误；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}（a≥0,b≥0）$，可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠6$，所以该运算错误；
C选项：$2\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$是同类二次根式，合并时系数相减，即$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=\sqrt{2}$，所以该运算正确；
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}（a≥0,b＞0）$，可得$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2≠4$，所以该运算错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查对二次根式四则运算法则的掌握程度，做题时要注意区分加减和乘除的运算规则，避免混淆两类运算的计算方法。
【难度系数】
0.8
解答这道题需要先掌握二次根式的四则运算法则：1.二次根式加减：只有被开方数相同的同类二次根式可以合并，合并时仅将系数相加减，被开方数保持不变；2.二次根式乘除：被开方数相乘除，根指数不变，最后将结果化为最简形式。接下来我们逐一验证每个选项的运算是否符合上述规则即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$的被开方数不同，不属于同类二次根式，不能直接合并相加，所以该运算错误；
B选项：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}（a≥0,b≥0）$，可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}≠6$，所以该运算错误；
C选项：$2\sqrt{2}$和$\sqrt{2}$是同类二次根式，合并时系数相减，即$2\sqrt{2}-\sqrt{2}=(2-1)\sqrt{2}=\sqrt{2}$，所以该运算正确；
D选项：根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷b}（a≥0,b＞0）$，可得$\sqrt{8}÷\sqrt{2}=\sqrt{8÷2}=\sqrt{4}=2≠4$，所以该运算错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的加减运算；二次根式的乘除运算
【点评】
本题是二次根式运算的基础题型，主要考查对二次根式四则运算法则的掌握程度，做题时要注意区分加减和乘除的运算规则，避免混淆两类运算的计算方法。
【难度系数】
0.8
4. $\sqrt{2}(3\sqrt{2}+\sqrt{3})$的值应在（
A.5和6之间
B.6和7之间
C.7和8之间
D.8和9之间
D
）A.5和6之间
B.6和7之间
C.7和8之间
D.8和9之间
答案
4.D
解析
【分析】
解题时首先利用乘法分配律展开二次根式的混合运算，将式子化简为整数加无理数的形式，再通过比较无理数被开方数和相邻完全平方数的大小，估算出无理数的取值范围，最后推导整个式子的取值范围，匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：利用乘法分配律展开原式
$\sqrt{2}(3\sqrt{2}+\sqrt{3})=\sqrt{2}×3\sqrt{2}+\sqrt{2}×\sqrt{3}$
第二步：分别计算两个乘积
$\sqrt{2}×3\sqrt{2}=3×(\sqrt{2})^2=3×2=6$
$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$
因此原式化简为：$6+\sqrt{6}$
第三步：估算$\sqrt{6}$的范围
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$
第四步：推导原式的取值范围
不等式三边同时加6得：$6+2＜6+\sqrt{6}＜6+3$，即$8＜6+\sqrt{6}＜9$
因此原式的值在8和9之间。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法，无理数估值，实数大小比较
【点评】
本题是二次根式运算与无理数估算结合的典型基础题，解题核心是先正确化简二次根式，再准确估算无理数的范围，考查基础运算能力和估算能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用乘法分配律展开二次根式的混合运算，将式子化简为整数加无理数的形式，再通过比较无理数被开方数和相邻完全平方数的大小，估算出无理数的取值范围，最后推导整个式子的取值范围，匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：利用乘法分配律展开原式
$\sqrt{2}(3\sqrt{2}+\sqrt{3})=\sqrt{2}×3\sqrt{2}+\sqrt{2}×\sqrt{3}$
第二步：分别计算两个乘积
$\sqrt{2}×3\sqrt{2}=3×(\sqrt{2})^2=3×2=6$
$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$
因此原式化简为：$6+\sqrt{6}$
第三步：估算$\sqrt{6}$的范围
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{6}＜\sqrt{9}$，即$2＜\sqrt{6}＜3$
第四步：推导原式的取值范围
不等式三边同时加6得：$6+2＜6+\sqrt{6}＜6+3$，即$8＜6+\sqrt{6}＜9$
因此原式的值在8和9之间。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法，无理数估值，实数大小比较
【点评】
本题是二次根式运算与无理数估算结合的典型基础题，解题核心是先正确化简二次根式，再准确估算无理数的范围，考查基础运算能力和估算能力。
【难度系数】
0.7
5. 下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的是 （
A.两组对边分别平行
B.两条对角线互相垂直
C.两组对角分别相等
D.两条对角线相等
B
）A.两组对边分别平行
B.两条对角线互相垂直
C.两组对角分别相等
D.两条对角线相等
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先明确菱形和矩形都是特殊的平行四边形，因此二者都具备平行四边形的所有共性性质，我们可以先排除对应共性的选项；再分别回忆菱形、矩形独有的特性，逐一核对剩余选项，即可选出符合要求的答案。
【解析】
我们先梳理两类图形的性质：
1. 平行四边形共有性质：两组对边分别平行、两组对角分别相等、对角线互相平分，菱形和矩形作为特殊平行四边形都具备这些性质。
2. 菱形特有性质：四条边相等、对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。
3. 矩形特有性质：四个角都是直角、对角线相等。
接下来逐一分析选项：
A. 两组对边分别平行是平行四边形共有性质，菱形、矩形都具有，不符合题意；
B. 对角线互相垂直是菱形的性质，普通矩形的对角线仅相等且平分，不垂直，只有特殊的矩形（正方形）才具备该性质，因此矩形不一定具有该性质，符合题意；
C. 两组对角分别相等是平行四边形共有性质，菱形、矩形都具有，不符合题意；
D. 对角线相等是矩形的性质，普通菱形对角线不相等，只有特殊的菱形（正方形）才具备该性质，属于矩形具有而菱形不一定具有的性质，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形性质的基础辨析题，解题核心是区分清楚菱形、矩形的共性和各自的特有性质，注意不要将普通图形的性质和特殊情况（正方形）的性质混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确菱形和矩形都是特殊的平行四边形，因此二者都具备平行四边形的所有共性性质，我们可以先排除对应共性的选项；再分别回忆菱形、矩形独有的特性，逐一核对剩余选项，即可选出符合要求的答案。
【解析】
我们先梳理两类图形的性质：
1. 平行四边形共有性质：两组对边分别平行、两组对角分别相等、对角线互相平分，菱形和矩形作为特殊平行四边形都具备这些性质。
2. 菱形特有性质：四条边相等、对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角。
3. 矩形特有性质：四个角都是直角、对角线相等。
接下来逐一分析选项：
A. 两组对边分别平行是平行四边形共有性质，菱形、矩形都具有，不符合题意；
B. 对角线互相垂直是菱形的性质，普通矩形的对角线仅相等且平分，不垂直，只有特殊的矩形（正方形）才具备该性质，因此矩形不一定具有该性质，符合题意；
C. 两组对角分别相等是平行四边形共有性质，菱形、矩形都具有，不符合题意；
D. 对角线相等是矩形的性质，普通菱形对角线不相等，只有特殊的菱形（正方形）才具备该性质，属于矩形具有而菱形不一定具有的性质，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形性质的基础辨析题，解题核心是区分清楚菱形、矩形的共性和各自的特有性质，注意不要将普通图形的性质和特殊情况（正方形）的性质混淆。
【难度系数】
0.8
