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23. 如图,把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开,拼成一张面积为$14\ \mathrm{cm}^2$的大正方形纸片.
（1）小正方形纸片的边长为
（2）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片,能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为$2:1$,且面积为$12\ \mathrm{cm}^2$?若能,试求出剪出的长方形纸片的长和宽;若不能,请你说明理由.
（1）小正方形纸片的边长为
$\sqrt{7}$
$\mathrm{cm}$.（2）若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片,能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为$2:1$,且面积为$12\ \mathrm{cm}^2$?若能,试求出剪出的长方形纸片的长和宽;若不能,请你说明理由.
答案
(1) $\sqrt{7}$
(2) 不能.理由如下:$\because$长方形长、宽之比为 $2:1$,$\therefore$设长方形的长和宽分别为 $2x\ \mathrm{cm},x\ \mathrm{cm}$.
$\therefore 2x · x=12.\therefore x^2=6.\because x＞0,\therefore x=\sqrt{6},2x=2\sqrt{6}.\because 2＜\sqrt{6}＜3,\therefore 4＜2\sqrt{6}＜6.\because$大正方形的面积为 $14\ \mathrm{cm}^2$,$\therefore$大正方形的边长为 $\sqrt{14}\ \mathrm{cm}.\because \sqrt{14}＜4$,$\therefore$沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形.
(2) 不能.理由如下:$\because$长方形长、宽之比为 $2:1$,$\therefore$设长方形的长和宽分别为 $2x\ \mathrm{cm},x\ \mathrm{cm}$.
$\therefore 2x · x=12.\therefore x^2=6.\because x＞0,\therefore x=\sqrt{6},2x=2\sqrt{6}.\because 2＜\sqrt{6}＜3,\therefore 4＜2\sqrt{6}＜6.\because$大正方形的面积为 $14\ \mathrm{cm}^2$,$\therefore$大正方形的边长为 $\sqrt{14}\ \mathrm{cm}.\because \sqrt{14}＜4$,$\therefore$沿此大正方形纸片边的方向不能裁剪出符合要求的长方形.
24. 阅读下面的文字,解答问题:
大家知道$\sqrt{2}$是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理的,因为$\sqrt{2}$的整数部分是1,所以这个数减去其整数部分就是其小数部分.
例如:$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{7}＜3$,
$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{7}-2$.
(1)$\sqrt{21}$的整数部分是________,小数部分是________.
(2)已知$\sqrt{11}$的小数部分为$a$,$\sqrt{101}$的整数部分为$b$,求$a+b-\sqrt{11}$的值.
(3)已知$10+\sqrt{3}=x+y$,其中,$x$是整数,$0＜y＜1$,求$x-y$的值.
大家知道$\sqrt{2}$是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此$\sqrt{2}$的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用$\sqrt{2}-1$来表示$\sqrt{2}$的小数部分,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理的,因为$\sqrt{2}$的整数部分是1,所以这个数减去其整数部分就是其小数部分.
例如:$\because \sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$,即$2＜\sqrt{7}＜3$,
$\therefore \sqrt{7}$的整数部分为2,小数部分为$\sqrt{7}-2$.
(1)$\sqrt{21}$的整数部分是________,小数部分是________.
(2)已知$\sqrt{11}$的小数部分为$a$,$\sqrt{101}$的整数部分为$b$,求$a+b-\sqrt{11}$的值.
(3)已知$10+\sqrt{3}=x+y$,其中,$x$是整数,$0＜y＜1$,求$x-y$的值.
答案
(1) 4 $\sqrt{21}-4$
(2) $\because \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16},\therefore 3＜\sqrt{11}＜4.\therefore \sqrt{11}$ 的小数部分为 $\sqrt{11}-3.\therefore a = \sqrt{11}-3$.
$\because \sqrt{100}＜\sqrt{101}＜\sqrt{121},\therefore 10＜\sqrt{101}＜11.\therefore \sqrt{101}$ 的整数部分为 $10.\therefore b=10.\therefore a+b-\sqrt{11}=\sqrt{11}-3+10-\sqrt{11}=7$.
(3) $\because 10+\sqrt{1}＜10+\sqrt{3}＜10+\sqrt{4},\therefore 11＜10+\sqrt{3}＜12.\therefore 11＜x+y＜12.\because x$ 是整数,$0＜y＜1$,$\therefore x=11,y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1.\therefore x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$.
(2) $\because \sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16},\therefore 3＜\sqrt{11}＜4.\therefore \sqrt{11}$ 的小数部分为 $\sqrt{11}-3.\therefore a = \sqrt{11}-3$.
$\because \sqrt{100}＜\sqrt{101}＜\sqrt{121},\therefore 10＜\sqrt{101}＜11.\therefore \sqrt{101}$ 的整数部分为 $10.\therefore b=10.\therefore a+b-\sqrt{11}=\sqrt{11}-3+10-\sqrt{11}=7$.
(3) $\because 10+\sqrt{1}＜10+\sqrt{3}＜10+\sqrt{4},\therefore 11＜10+\sqrt{3}＜12.\therefore 11＜x+y＜12.\because x$ 是整数,$0＜y＜1$,$\therefore x=11,y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1.\therefore x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$.
