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例3 用算盘表示70280000,需要拨()颗算珠靠梁。
【错解】8
【分析】用算盘表示70280000,千万位上需要拨3颗算珠,十万位上需要拨2颗算珠,万位上需要拨4颗算珠,其他数位上是0,不需要拨算珠,共需要拨9颗算珠靠梁。
【答案】9
【错解】8
【分析】用算盘表示70280000,千万位上需要拨3颗算珠,十万位上需要拨2颗算珠,万位上需要拨4颗算珠,其他数位上是0,不需要拨算珠,共需要拨9颗算珠靠梁。
【答案】9
答案
千万位：7需1颗上珠和2颗下珠，共3颗；
十万位：2需2颗下珠，共2颗；
万位：8需1颗上珠和3颗下珠，共4颗；
3+2+4=9（颗）
答：需要拨9颗算珠靠梁。
十万位：2需2颗下珠，共2颗；
万位：8需1颗上珠和3颗下珠，共4颗；
3+2+4=9（颗）
答：需要拨9颗算珠靠梁。
解析
【分析】
首先我们要先回忆算盘的计数规则：1颗上珠代表数值5，1颗下珠代表数值1。接下来第一步先拆分70280000的各个数位上的数字：千万位是7，百万位是0，十万位是2，万位是8，其余更低的数位都是0，数值为0的数位不需要拨算珠靠梁。接下来我们只需要分别计算千万位、十万位、万位这三个非零数位各自需要的算珠数量，最后把数量相加，就能得到总算珠数，注意不能直接把数位上的数字7、2、8直接相加，要结合上珠代表5的规则拆分每个数字对应的算珠数。
【解析】
1. 先明确基础规则：算盘计数时，1颗上珠表示5，1颗下珠表示1，对应数位数值为0时不需要拨算珠靠梁。
2. 逐个计算非零数位的算珠数量：
千万位数字是7：7可拆分为5+2，对应需要1颗上珠+2颗下珠，共1+2=3颗算珠；
十万位数字是2：2小于5，仅需要2颗下珠，共2颗算珠；
万位数字是8：8可拆分为5+3，对应需要1颗上珠+3颗下珠，共1+3=4颗算珠。
3. 求和得到总算珠数：3+2+4=9（颗）。
【答案】9
【知识点】算盘计数规则；数位的认识
【点评】本题的常见错解是忽略算盘上珠代表5的计数逻辑，错算单个数位的算珠数量，或是直接将非零数位的数值简单相加得到错误结果，解题时要逐个核对非零数位对应的上珠、下珠数量再求和，避免粗心失误。
【难度系数】0.6
首先我们要先回忆算盘的计数规则：1颗上珠代表数值5，1颗下珠代表数值1。接下来第一步先拆分70280000的各个数位上的数字：千万位是7，百万位是0，十万位是2，万位是8，其余更低的数位都是0，数值为0的数位不需要拨算珠靠梁。接下来我们只需要分别计算千万位、十万位、万位这三个非零数位各自需要的算珠数量，最后把数量相加，就能得到总算珠数，注意不能直接把数位上的数字7、2、8直接相加，要结合上珠代表5的规则拆分每个数字对应的算珠数。
【解析】
1. 先明确基础规则：算盘计数时，1颗上珠表示5，1颗下珠表示1，对应数位数值为0时不需要拨算珠靠梁。
2. 逐个计算非零数位的算珠数量：
千万位数字是7：7可拆分为5+2，对应需要1颗上珠+2颗下珠，共1+2=3颗算珠；
十万位数字是2：2小于5，仅需要2颗下珠，共2颗算珠；
万位数字是8：8可拆分为5+3，对应需要1颗上珠+3颗下珠，共1+3=4颗算珠。
3. 求和得到总算珠数：3+2+4=9（颗）。
【答案】9
【知识点】算盘计数规则；数位的认识
【点评】本题的常见错解是忽略算盘上珠代表5的计数逻辑，错算单个数位的算珠数量，或是直接将非零数位的数值简单相加得到错误结果，解题时要逐个核对非零数位对应的上珠、下珠数量再求和，避免粗心失误。
【难度系数】0.6
变式训练5 在算盘上表示6100301,需要拨动(
7
)颗算珠,读这个数时需要读(2
)个零。答案
变式训练5 7 2
解析
【分析】
这道题需要分两部分逐步求解：第一部分计算算盘上表示该数的算珠总数，首先要回忆算盘的计数规则：横梁上方1颗上珠代表数字5，横梁下方1颗下珠代表数字1，我们可以把6100301按数位拆分，逐个统计每个非零数位需要拨动的算珠数量，相加就能得到总颗数。第二部分判断读数时读出零的个数，按照大数分级读数的规则，先把数从右往左每四位分为一级，再结合“每级末尾的零不读，其余数位的单个零或连续多个零都只读一个零”的规则，统计读出的零的数量即可。
【解析】
1. 计算算珠总颗数：
将数字6100301按数位拆分后逐个统计：
百万位数字为6：需要1颗代表5的上珠 + 1颗代表1的下珠，共2颗算珠；
十万位数字为1：仅需要1颗下珠，共1颗算珠；
万位、千位、十位数字都是0，不需要拨动算珠；
百位数字为3：需要3颗下珠，共3颗算珠；
个位数字为1：仅需要1颗下珠，共1颗算珠；
总算珠数 = 2 + 1 + 3 + 1 = 7颗。
2. 统计读出零的个数：
对6100301从右往左每四位分级，得到万级为610，个级为0301，按照大数读法规则读作：六百一十万零三百零一，一共读出2个零。
【答案】
7 2
【知识点】
算盘计数规则，大数的读法
【点评】
本题结合算盘计数和大数读写两个基础知识点进行考查，常见易错点有两处：一是计算算珠数时忘记上珠代表5的设定，误将数字6按6颗下珠计算导致总数出错；二是读数时误将万级末尾的连续两个0判定为需要读出的零，解题时要牢记对应规则，避免低级失误。
【难度系数】
0.7
这道题需要分两部分逐步求解：第一部分计算算盘上表示该数的算珠总数，首先要回忆算盘的计数规则：横梁上方1颗上珠代表数字5，横梁下方1颗下珠代表数字1，我们可以把6100301按数位拆分，逐个统计每个非零数位需要拨动的算珠数量，相加就能得到总颗数。第二部分判断读数时读出零的个数，按照大数分级读数的规则，先把数从右往左每四位分为一级，再结合“每级末尾的零不读，其余数位的单个零或连续多个零都只读一个零”的规则，统计读出的零的数量即可。
【解析】
1. 计算算珠总颗数：
将数字6100301按数位拆分后逐个统计：
百万位数字为6：需要1颗代表5的上珠 + 1颗代表1的下珠，共2颗算珠；
十万位数字为1：仅需要1颗下珠，共1颗算珠；
万位、千位、十位数字都是0，不需要拨动算珠；
百位数字为3：需要3颗下珠，共3颗算珠；
个位数字为1：仅需要1颗下珠，共1颗算珠；
总算珠数 = 2 + 1 + 3 + 1 = 7颗。
2. 统计读出零的个数：
对6100301从右往左每四位分级，得到万级为610，个级为0301，按照大数读法规则读作：六百一十万零三百零一，一共读出2个零。
【答案】
7 2
【知识点】
算盘计数规则，大数的读法
【点评】
本题结合算盘计数和大数读写两个基础知识点进行考查，常见易错点有两处：一是计算算珠数时忘记上珠代表5的设定，误将数字6按6颗下珠计算导致总数出错；二是读数时误将万级末尾的连续两个0判定为需要读出的零，解题时要牢记对应规则，避免低级失误。
【难度系数】
0.7
变式训练6 明明在算盘上用4颗算珠拨了一个五位数,他用这4颗算珠能表示的最大数和最小数分别是多少?
答案
变式训练6 最大数是80000,最小数是
10003.
10003.
解析
【分析】
我们首先要明确算盘的计数规则：算盘的1颗上珠代表5，1颗下珠代表1。要得到4颗算珠表示的最大五位数，核心思路是优先把所有算珠放在最高位（万位），让最高位的数值尽可能大，其余低位都为0；要得到最小的五位数，首先要保证万位不为0（否则就不是五位数），万位用最少的算珠表示最小的非零数，剩下的所有算珠都放在最低的个位，中间数位全部为0，就能得到最小的数。
【解析】
1. 求最大数：
五位数的最高位是万位，要让数最大，将全部4颗算珠都放在万位：万位拨1颗上珠（代表5）+3颗下珠（代表3），5+3=8，刚好用完4颗算珠，千位、百位、十位、个位都不拨珠，得到的数是80000。
2. 求最小数：
五位数的万位不能为0，要让数最小，万位仅拨1颗下珠代表数字1，用掉1颗算珠，剩余4-1=3颗算珠，全部放在个位拨3颗下珠代表数字3，千位、百位、十位都不拨珠，得到的数是10003。
【答案】
最大数是80000，最小数是10003
【知识点】
算盘计数规则，大数的认识
【点评】
本题的易错点是容易忽略算盘上珠代表5的规则，错把最大数算成40000，也容易在找最小数时错误给个位用上珠导致数值变大，解题时要牢记算盘的计数特点，求最大数优先把算珠集中在最高位，求最小数先保证最高位非零且尽可能小，剩余算珠全部放在最低位即可。
【难度系数】
0.6
我们首先要明确算盘的计数规则：算盘的1颗上珠代表5，1颗下珠代表1。要得到4颗算珠表示的最大五位数，核心思路是优先把所有算珠放在最高位（万位），让最高位的数值尽可能大，其余低位都为0；要得到最小的五位数，首先要保证万位不为0（否则就不是五位数），万位用最少的算珠表示最小的非零数，剩下的所有算珠都放在最低的个位，中间数位全部为0，就能得到最小的数。
【解析】
1. 求最大数：
五位数的最高位是万位，要让数最大，将全部4颗算珠都放在万位：万位拨1颗上珠（代表5）+3颗下珠（代表3），5+3=8，刚好用完4颗算珠，千位、百位、十位、个位都不拨珠，得到的数是80000。
2. 求最小数：
五位数的万位不能为0，要让数最小，万位仅拨1颗下珠代表数字1，用掉1颗算珠，剩余4-1=3颗算珠，全部放在个位拨3颗下珠代表数字3，千位、百位、十位都不拨珠，得到的数是10003。
【答案】
最大数是80000，最小数是10003
【知识点】
算盘计数规则，大数的认识
【点评】
本题的易错点是容易忽略算盘上珠代表5的规则，错把最大数算成40000，也容易在找最小数时错误给个位用上珠导致数值变大，解题时要牢记算盘的计数特点，求最大数优先把算珠集中在最高位，求最小数先保证最高位非零且尽可能小，剩余算珠全部放在最低位即可。
【难度系数】
0.6
例4 填空:$21□ 700\approx 21$万,$□$里可以填()。
【错解】1~4
【分析】本题易错在忽略$□$里可以填0。因为$□$所在的数位是千位,“四舍”到万位只需要千位上的数小于5即可,所以数字0~4均符合。
【答案】0~4
【错解】1~4
【分析】本题易错在忽略$□$里可以填0。因为$□$所在的数位是千位,“四舍”到万位只需要千位上的数小于5即可,所以数字0~4均符合。
【答案】0~4
答案
0~4
解析
【分析】
首先我们要明确这道题的核心是根据近似结果反推原数千位的可填数字：第一步先确定近似的数位，题目要求近似到万位得到21万，我们需要观察千位上的数字来判断是四舍还是五入；第二步，原数的万级部分是21，近似后万级没有发生进位，说明使用的是“四舍”规则，也就是千位上的数字必须小于5；第三步，很多同学会下意识从1开始枚举符合条件的数，忽略0也是小于5的一位数，我们可以验证填0的情况：210700省略万位后面的尾数同样约等于21万，完全符合要求，因此所有小于5的非负一位数都符合条件。
【解析】
解：
1. 确定近似规则：将大数近似到万位时，需要对千位上的数字进行四舍五入处理。
2. 判断取舍类型：已知原数近似后结果为21万，原数万级为21，没有发生进位，说明千位数字满足“四舍”要求，即千位上的数字＜5。
3. 枚举所有符合条件的一位数：小于5的非负一位数为0、1、2、3、4，全部满足近似要求，没有遗漏。
因此□里可以填0~4。
【答案】
0~4
【知识点】
四舍五入求近似数；大数的近似改写
【点评】
本题的典型易错点是遗漏可填数字0，不少同学会默认千位不能为0，忽略了210700本身也满足约等于21万的条件。解这类反推近似数取值范围的题目时，要严格按照四舍五入的规则逐一验证边界数值，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
首先我们要明确这道题的核心是根据近似结果反推原数千位的可填数字：第一步先确定近似的数位，题目要求近似到万位得到21万，我们需要观察千位上的数字来判断是四舍还是五入；第二步，原数的万级部分是21，近似后万级没有发生进位，说明使用的是“四舍”规则，也就是千位上的数字必须小于5；第三步，很多同学会下意识从1开始枚举符合条件的数，忽略0也是小于5的一位数，我们可以验证填0的情况：210700省略万位后面的尾数同样约等于21万，完全符合要求，因此所有小于5的非负一位数都符合条件。
【解析】
解：
1. 确定近似规则：将大数近似到万位时，需要对千位上的数字进行四舍五入处理。
2. 判断取舍类型：已知原数近似后结果为21万，原数万级为21，没有发生进位，说明千位数字满足“四舍”要求，即千位上的数字＜5。
3. 枚举所有符合条件的一位数：小于5的非负一位数为0、1、2、3、4，全部满足近似要求，没有遗漏。
因此□里可以填0~4。
【答案】
0~4
【知识点】
四舍五入求近似数；大数的近似改写
【点评】
本题的典型易错点是遗漏可填数字0，不少同学会默认千位不能为0，忽略了210700本身也满足约等于21万的条件。解这类反推近似数取值范围的题目时，要严格按照四舍五入的规则逐一验证边界数值，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.6
变式训练7 一个数省略万位后面的尾数,得到的近似数是30万,这个数最小是(
295000
),最大是(304999
)。答案
变式训练7 295000 304999
解析
【分析】
我们首先要明确，省略万位后面的尾数求近似数用的是“四舍五入法”，需要观察千位上的数字判断是否进位。要找近似数是30万的最小数，就要想到这个数是通过“五入”得到30万的：也就是原数原本不足30万，千位向万位进1之后才得到30万，这时候万级部分最小是29，千位要满足能进位的最小取值是5，其余数位都取最小的0，就能得到最小的数。要找最大的数，就要想到这个数是通过“四舍”得到30万的：也就是原数本身就大于等于30万，千位上的数字不满5，直接舍去万位后面的尾数得到30万，这时候万级部分是30，千位取能被舍去的最大数字4，其余数位都取最大的9，就能得到最大的数。
【解析】
解：省略万位后面的尾数求近似数，遵循四舍五入规则，对千位数字进行判断：
1. 推导最小数：该数由“五入”操作得到近似数30万，说明万级原本的数值是29，千位需要满足进位要求，最小可取5，百位、十位、个位均取最小的0，最终得到最小数为295000。
2. 推导最大数：该数由“四舍”操作得到近似数30万，说明万级原本的数值是30，千位需要满足直接舍去的要求，最大可取4，百位、十位、个位均取最大的9，最终得到最大数为304999。
【答案】295000 304999
【知识点】四舍五入法，大数的近似数
【点评】本题的易错点是容易忽略“五入”进位得到近似数的情况，误将最小数写为300001，解题时要明确：四舍得到的近似数比对应原数小，对应求近似数取值范围内的最大值；五入得到的近似数比对应原数大，对应求近似数取值范围内的最小值，区分两种情况即可快速得到正确结果。
【难度系数】0.6
我们首先要明确，省略万位后面的尾数求近似数用的是“四舍五入法”，需要观察千位上的数字判断是否进位。要找近似数是30万的最小数，就要想到这个数是通过“五入”得到30万的：也就是原数原本不足30万，千位向万位进1之后才得到30万，这时候万级部分最小是29，千位要满足能进位的最小取值是5，其余数位都取最小的0，就能得到最小的数。要找最大的数，就要想到这个数是通过“四舍”得到30万的：也就是原数本身就大于等于30万，千位上的数字不满5，直接舍去万位后面的尾数得到30万，这时候万级部分是30，千位取能被舍去的最大数字4，其余数位都取最大的9，就能得到最大的数。
【解析】
解：省略万位后面的尾数求近似数，遵循四舍五入规则，对千位数字进行判断：
1. 推导最小数：该数由“五入”操作得到近似数30万，说明万级原本的数值是29，千位需要满足进位要求，最小可取5，百位、十位、个位均取最小的0，最终得到最小数为295000。
2. 推导最大数：该数由“四舍”操作得到近似数30万，说明万级原本的数值是30，千位需要满足直接舍去的要求，最大可取4，百位、十位、个位均取最大的9，最终得到最大数为304999。
【答案】295000 304999
【知识点】四舍五入法，大数的近似数
【点评】本题的易错点是容易忽略“五入”进位得到近似数的情况，误将最小数写为300001，解题时要明确：四舍得到的近似数比对应原数小，对应求近似数取值范围内的最大值；五入得到的近似数比对应原数大，对应求近似数取值范围内的最小值，区分两种情况即可快速得到正确结果。
【难度系数】0.6
变式训练8 用1、2、5、6、7、9这六个数字组成一个六位数(每个数字只能用一次)。这个六位数的近似数为57万。这个六位数最大是多少? 最小是多少?
答案
变式训练8 这个六位数最大是572961,
最小是567129.
最小是567129.
解析
【分析】
我们首先要明确，近似数是57万的六位数，只有两种符合要求的前两位组合：第一种是前两位刚好是57，此时是通过“四舍”规则得到近似数57万，要让这个数尽可能大，就要在满足千位小于5的前提下，把剩下的数字从高位到低位按从大到小排列；第二种是前两位是56，此时是通过“五入”进位得到近似数57万，要让这个数尽可能小，就要在满足千位大于等于5的前提下，把剩下的数字从高位到低位按从小到大排列，同时保证所有数字仅使用一次，就能分别求出对应的最大数和最小数。
【解析】
步骤1：求满足条件的最大六位数
近似数为57万，若通过四舍得到，说明十万位为5，万位为7，此时千位上的数字必须小于5，才不会向万位进位。
已经使用数字5、7，剩余可用数字为1、2、6、9，其中小于5的数字只有1和2，要让数最大，千位选最大的符合条件的数字2，剩余数字1、6、9按从大到小的顺序排在百位、十位、个位，依次为9、6、1，最终得到的数是572961。
步骤2：求满足条件的最小六位数
若通过五入得到近似数57万，说明十万位为5，万位为6，此时千位上的数字必须≥5，才能向万位进1，让万位的6变为7，得到近似数57万。
已经使用数字5、6，剩余可用数字为1、2、7、9，其中≥5的数字有7和9，要让数最小，千位选最小的符合条件的数字7，剩余数字1、2、9按从小到大的顺序排在百位、十位、个位，依次为1、2、9，最终得到的数是567129。
【答案】
这个六位数最大是572961，最小是567129。
【知识点】
四舍五入求近似数，数的组成，大数比较
【点评】
本题需要结合四舍五入的规则分两类情况讨论，很多同学容易忽略“五入”得到近似数的情况，或是排列剩余数字时搞反大小排序逻辑，解题时先锁定前两位的两种可能取值，再根据最大/最小的要求确定千位的合法取值，最后有序排列剩余数字即可得到正确结果。
【难度系数】
0.4
我们首先要明确，近似数是57万的六位数，只有两种符合要求的前两位组合：第一种是前两位刚好是57，此时是通过“四舍”规则得到近似数57万，要让这个数尽可能大，就要在满足千位小于5的前提下，把剩下的数字从高位到低位按从大到小排列；第二种是前两位是56，此时是通过“五入”进位得到近似数57万，要让这个数尽可能小，就要在满足千位大于等于5的前提下，把剩下的数字从高位到低位按从小到大排列，同时保证所有数字仅使用一次，就能分别求出对应的最大数和最小数。
【解析】
步骤1：求满足条件的最大六位数
近似数为57万，若通过四舍得到，说明十万位为5，万位为7，此时千位上的数字必须小于5，才不会向万位进位。
已经使用数字5、7，剩余可用数字为1、2、6、9，其中小于5的数字只有1和2，要让数最大，千位选最大的符合条件的数字2，剩余数字1、6、9按从大到小的顺序排在百位、十位、个位，依次为9、6、1，最终得到的数是572961。
步骤2：求满足条件的最小六位数
若通过五入得到近似数57万，说明十万位为5，万位为6，此时千位上的数字必须≥5，才能向万位进1，让万位的6变为7，得到近似数57万。
已经使用数字5、6，剩余可用数字为1、2、7、9，其中≥5的数字有7和9，要让数最小，千位选最小的符合条件的数字7，剩余数字1、2、9按从小到大的顺序排在百位、十位、个位，依次为1、2、9，最终得到的数是567129。
【答案】
这个六位数最大是572961，最小是567129。
【知识点】
四舍五入求近似数，数的组成，大数比较
【点评】
本题需要结合四舍五入的规则分两类情况讨论，很多同学容易忽略“五入”得到近似数的情况，或是排列剩余数字时搞反大小排序逻辑，解题时先锁定前两位的两种可能取值，再根据最大/最小的要求确定千位的合法取值，最后有序排列剩余数字即可得到正确结果。
【难度系数】
0.4
