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8. 设$a,b$是直角三角形的两条直角边的长,若该三角形的周长为6,斜边长为2.5,则$ab$的值是 ()
A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
A.1.5
B.2
C.2.5
D.3
答案
D
解析
1. 由三角形周长为6，斜边长2.5，得直角边之和：$a+b=6-2.5=3.5$；
2. 根据勾股定理，$a^2+b^2=2.5^2=6.25$；
3. 利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入得：$3.5^2=6.25+2ab$，即$12.25=6.25+2ab$；
4. 计算得$2ab=6$，故$ab=3$。
2. 根据勾股定理，$a^2+b^2=2.5^2=6.25$；
3. 利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入得：$3.5^2=6.25+2ab$，即$12.25=6.25+2ab$；
4. 计算得$2ab=6$，故$ab=3$。
9. 如图,一个底面圆周长为24 m、高为5 m的圆柱,一只蚂蚁沿外侧表面从点$A$到点$B$所经过的最短路线长为 ()
A.12 m
B.15 m
C.13 m
D.9 m
A.12 m
B.15 m
C.13 m
D.9 m
答案
C
解析
将圆柱外侧表面展开为长方形，蚂蚁从A到B的最短路径为长方形的对角线。已知底面圆周长为24m，因此长方形的长的一半为$24÷2=12$m，长方形的宽为圆柱的高5m。根据勾股定理，最短路线长为$\sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$m。
10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长的直角边长为$a$,较短的直角边长为$b$.若$ab=8$,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为 ()
A.9
B.6
C.4
D.3
A.9
B.6
C.4
D.3
答案
D
解析
已知大正方形面积为25，故大正方形边长为5，由勾股定理得$a^2+b^2=5^2=25$。
四个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=4×\frac{1}{2}×8=16$。
小正方形的面积为$25-16=9$，则小正方形的边长为$\sqrt{9}=3$。
四个直角三角形的总面积为$4×\frac{1}{2}ab=4×\frac{1}{2}×8=16$。
小正方形的面积为$25-16=9$，则小正方形的边长为$\sqrt{9}=3$。
二、填空题(每小题3分,共15分)
11. 计算:① $\sqrt{25}=$;② $\sqrt{(-4)^{2}}=$;③$(-\sqrt{3})^{2}=$.
11. 计算:① $\sqrt{25}=$;② $\sqrt{(-4)^{2}}=$;③$(-\sqrt{3})^{2}=$.
答案
解：
① $\sqrt{25}=5$；
② $\sqrt{(-4)^{2}}=\sqrt{16}=4$；
③ $(-\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3$。
① $\sqrt{25}=5$；
② $\sqrt{(-4)^{2}}=\sqrt{16}=4$；
③ $(-\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3$。
12. 已知$x+y=3+2\sqrt{2},x-y=3-2\sqrt{2}$,则$\sqrt{x^{2}-y^{2}}$的值为.
答案
1
解析
根据平方差公式，$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，代入已知条件计算：
$(x+y)(x-y)=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1$，
则$\sqrt{x^2 - y^2}=\sqrt{1}=1$。
$(x+y)(x-y)=(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})=3^2-(2\sqrt{2})^2=9-8=1$，
则$\sqrt{x^2 - y^2}=\sqrt{1}=1$。
13. 实数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示,化简$(\sqrt{b})^{2}+\sqrt{(b-a)^{2}}-|a|$的结果是.
答案
$\boldsymbol{2b}$
解析
根据数轴可知，$a＜0$，$b＞0$，且$b-a＞0$。
利用二次根式与绝对值的性质：
$(\sqrt{b})^2 = b$；
$\sqrt{(b-a)^2}=|b-a|=b-a$；
$|a|=-a$。
代入原式化简：
原式$=b+(b-a)-(-a)=b+b-a+a=2b$
利用二次根式与绝对值的性质：
$(\sqrt{b})^2 = b$；
$\sqrt{(b-a)^2}=|b-a|=b-a$；
$|a|=-a$。
代入原式化简：
原式$=b+(b-a)-(-a)=b+b-a+a=2b$
14. 如图,在$△ ABC$中,$AB=5,BC=12,AC=13$,三条角平分线相交于点$P$,则点$P$到$AB$的距离为.
答案
2
解析
1. 判定△ABC的形状：由$AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2 = AC^2$，可知△ABC是直角三角形，且$∠ ABC = 90°$。
2. 设点P到AB的距离为$r$，根据角平分线的性质，点P到△ABC三边的距离相等，均为$r$。
3. 利用面积法列等式：$S_{△ ABC} = S_{△ PAB} + S_{△ PBC} + S_{△ PAC}$。
计算$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$；
计算$S_{△ PAB} + S_{△ PBC} + S_{△ PAC} = \frac{1}{2} × 5r + \frac{1}{2} × 12r + \frac{1}{2} × 13r = 15r$。
4. 解方程：$15r = 30$，得$r=2$。
2. 设点P到AB的距离为$r$，根据角平分线的性质，点P到△ABC三边的距离相等，均为$r$。
3. 利用面积法列等式：$S_{△ ABC} = S_{△ PAB} + S_{△ PBC} + S_{△ PAC}$。
计算$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 5 × 12 = 30$；
计算$S_{△ PAB} + S_{△ PBC} + S_{△ PAC} = \frac{1}{2} × 5r + \frac{1}{2} × 12r + \frac{1}{2} × 13r = 15r$。
4. 解方程：$15r = 30$，得$r=2$。
15. 将一副直角三角板按如图所示的方式放置,点$C$在$FD$的延长线上,点$B$在$ED$上,$AB// CF,∠ F=∠ ACB=90°$,$∠ E=45°,∠ A=60°,AC=10$,则$CD$的长是.
答案
解：
过点B作$BM ⊥ CD$于点M。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=60°$，$AC=10$，
$\therefore ∠ ABC=30°$，
$BC=AC · \tan60°=10 × \sqrt{3}=10\sqrt{3}$。
$\because AB // CF$，
$\therefore ∠ BCD=∠ ABC=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BMC$中，$∠ BMC=90°$，$∠ BCD=30°$，$BC=10\sqrt{3}$，
$\therefore BM=BC · \sin30°=10\sqrt{3} × \frac{1}{2}=5\sqrt{3}$，
$CM=BC · \cos30°=10\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}=15$。
在$\mathrm{Rt}△ BMD$中，$∠ F=90°$，$∠ E=45°$，
$\therefore ∠ EDF=45°$，
$\therefore ∠ MBD=∠ EDF=45°$，
$\therefore MD=BM=5\sqrt{3}$。
$\therefore CD=CM - MD=15 - 5\sqrt{3}$。
过点B作$BM ⊥ CD$于点M。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=60°$，$AC=10$，
$\therefore ∠ ABC=30°$，
$BC=AC · \tan60°=10 × \sqrt{3}=10\sqrt{3}$。
$\because AB // CF$，
$\therefore ∠ BCD=∠ ABC=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ BMC$中，$∠ BMC=90°$，$∠ BCD=30°$，$BC=10\sqrt{3}$，
$\therefore BM=BC · \sin30°=10\sqrt{3} × \frac{1}{2}=5\sqrt{3}$，
$CM=BC · \cos30°=10\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2}=15$。
在$\mathrm{Rt}△ BMD$中，$∠ F=90°$，$∠ E=45°$，
$\therefore ∠ EDF=45°$，
$\therefore ∠ MBD=∠ EDF=45°$，
$\therefore MD=BM=5\sqrt{3}$。
$\therefore CD=CM - MD=15 - 5\sqrt{3}$。
