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22. (10分)甲、乙、丙、丁四名学生的竞赛成绩(单位:分)如下:15,18,15,24,按照"组内离差平方和最小"的方法,将竞赛成绩分成两组.
答案
解：
1. 计算分组为$\{24\}$和$\{15,15,18\}$的组内离差平方和总和：
组$\{24\}$的平均数为24，离差平方和：$(24-24)^2=0$
组$\{15,15,18\}$的平均数为$\frac{15+15+18}{3}=16$，离差平方和：$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6$
总和：$0+6=6$
2. 计算分组为$\{18\}$和$\{15,15,24\}$的组内离差平方和总和：
组$\{18\}$的离差平方和：$(18-18)^2=0$
组$\{15,15,24\}$的平均数为$\frac{15+15+24}{3}=18$，离差平方和：$(15-18)^2+(15-18)^2+(24-18)^2=9+9+36=54$
总和：$0+54=54$
3. 计算分组为$\{15\}$和$\{15,18,24\}$的组内离差平方和总和：
组$\{15\}$的离差平方和：$(15-15)^2=0$
组$\{15,18,24\}$的平均数为$\frac{15+18+24}{3}=19$，离差平方和：$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$
总和：$0+42=42$
4. 计算分组为$\{15,15\}$和$\{18,24\}$的组内离差平方和总和：
组$\{15,15\}$的平均数为15，离差平方和：$(15-15)^2+(15-15)^2=0+0=0$
组$\{18,24\}$的平均数为$\frac{18+24}{2}=21$，离差平方和：$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$
总和：$0+18=18$
5. 计算分组为$\{15,18\}$和$\{15,24\}$的组内离差平方和总和：
组$\{15,18\}$的平均数为$\frac{15+18}{2}=16.5$，离差平方和：$(15-16.5)^2+(18-16.5)^2=2.25+2.25=4.5$
组$\{15,24\}$的平均数为$\frac{15+24}{2}=19.5$，离差平方和：$(15-19.5)^2+(24-19.5)^2=20.25+20.25=40.5$
总和：$4.5+40.5=45$
比较所有总和：$6＜18＜42＜45＜54$，可知离差平方和最小的分组为$\{15,15,18\}$和$\{24\}$。
答：应将竞赛成绩分成两组，分别为$\boldsymbol{\{15,15,18\}}$和$\boldsymbol{\{24\}}$。
1. 计算分组为$\{24\}$和$\{15,15,18\}$的组内离差平方和总和：
组$\{24\}$的平均数为24，离差平方和：$(24-24)^2=0$
组$\{15,15,18\}$的平均数为$\frac{15+15+18}{3}=16$，离差平方和：$(15-16)^2+(15-16)^2+(18-16)^2=1+1+4=6$
总和：$0+6=6$
2. 计算分组为$\{18\}$和$\{15,15,24\}$的组内离差平方和总和：
组$\{18\}$的离差平方和：$(18-18)^2=0$
组$\{15,15,24\}$的平均数为$\frac{15+15+24}{3}=18$，离差平方和：$(15-18)^2+(15-18)^2+(24-18)^2=9+9+36=54$
总和：$0+54=54$
3. 计算分组为$\{15\}$和$\{15,18,24\}$的组内离差平方和总和：
组$\{15\}$的离差平方和：$(15-15)^2=0$
组$\{15,18,24\}$的平均数为$\frac{15+18+24}{3}=19$，离差平方和：$(15-19)^2+(18-19)^2+(24-19)^2=16+1+25=42$
总和：$0+42=42$
4. 计算分组为$\{15,15\}$和$\{18,24\}$的组内离差平方和总和：
组$\{15,15\}$的平均数为15，离差平方和：$(15-15)^2+(15-15)^2=0+0=0$
组$\{18,24\}$的平均数为$\frac{18+24}{2}=21$，离差平方和：$(18-21)^2+(24-21)^2=9+9=18$
总和：$0+18=18$
5. 计算分组为$\{15,18\}$和$\{15,24\}$的组内离差平方和总和：
组$\{15,18\}$的平均数为$\frac{15+18}{2}=16.5$，离差平方和：$(15-16.5)^2+(18-16.5)^2=2.25+2.25=4.5$
组$\{15,24\}$的平均数为$\frac{15+24}{2}=19.5$，离差平方和：$(15-19.5)^2+(24-19.5)^2=20.25+20.25=40.5$
总和：$4.5+40.5=45$
比较所有总和：$6＜18＜42＜45＜54$，可知离差平方和最小的分组为$\{15,15,18\}$和$\{24\}$。
答：应将竞赛成绩分成两组，分别为$\boldsymbol{\{15,15,18\}}$和$\boldsymbol{\{24\}}$。
23. (12分)小明的爸爸准备购买一辆新能源汽车.在爸爸的预算范围内,小明收集了A,B,C三款汽车在2024年9月至2025年3月期间的国内销售量和网友对车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务四项评分数据,统计如下:
(1)数据分析:
①求B款新能源汽车在2024年9月至2025年3月期间月销售量的中位数;
②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务四项评分数据按$2:3:3:2$的比例统计,求A款新能源汽车四项评分数据的平均数;
(2)合理建议:
请按你认为的各项"重要程度"设计四项评分数据的比例,并结合销售量,以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车,说说你的理由.
(1)数据分析:
①求B款新能源汽车在2024年9月至2025年3月期间月销售量的中位数;
②若将车辆的外观造型、舒适程度、操控性能、售后服务四项评分数据按$2:3:3:2$的比例统计,求A款新能源汽车四项评分数据的平均数;
(2)合理建议:
请按你认为的各项"重要程度"设计四项评分数据的比例,并结合销售量,以此为依据建议小明的爸爸购买哪款汽车,说说你的理由.
答案
解：
(1)①将B款新能源汽车2024年9月至2025年3月的月销售量从小到大排列：
2475，2595，2822，3015，3057，3254，4667
共7个数据，中位数为第4个数据，即$\boldsymbol{3015}$辆。
②A款四项评分的加权平均数：
$\overline{x} = \frac{72×2 + 70×3 + 67×3 + 64×2}{2+3+3+2} = \frac{144 + 210 + 201 + 128}{10} = 68.3$
(2)设计四项评分比例为：外观造型:舒适程度:操控性能:售后服务$=2:2:3:3$。
计算各款加权平均分：
A款：$\frac{72×2 + 70×2 + 67×3 + 64×3}{2+2+3+3} = \frac{144+140+201+192}{10}=67.7$
B款：$\frac{70×2 + 71×2 + 70×3 + 68×3}{2+2+3+3} = \frac{140+142+210+204}{10}=69.6$
C款：$\frac{75×2 + 65×2 + 67×3 + 61×3}{2+2+3+3} = \frac{150+130+201+183}{10}=66.4$
结合销售量：B款月销售量波动较小，整体稳定，且加权平均分最高，建议购买B款新能源汽车。
(1)①将B款新能源汽车2024年9月至2025年3月的月销售量从小到大排列：
2475，2595，2822，3015，3057，3254，4667
共7个数据，中位数为第4个数据，即$\boldsymbol{3015}$辆。
②A款四项评分的加权平均数：
$\overline{x} = \frac{72×2 + 70×3 + 67×3 + 64×2}{2+3+3+2} = \frac{144 + 210 + 201 + 128}{10} = 68.3$
(2)设计四项评分比例为：外观造型:舒适程度:操控性能:售后服务$=2:2:3:3$。
计算各款加权平均分：
A款：$\frac{72×2 + 70×2 + 67×3 + 64×3}{2+2+3+3} = \frac{144+140+201+192}{10}=67.7$
B款：$\frac{70×2 + 71×2 + 70×3 + 68×3}{2+2+3+3} = \frac{140+142+210+204}{10}=69.6$
C款：$\frac{75×2 + 65×2 + 67×3 + 61×3}{2+2+3+3} = \frac{150+130+201+183}{10}=66.4$
结合销售量：B款月销售量波动较小，整体稳定，且加权平均分最高，建议购买B款新能源汽车。
