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二次根式的加减、乘除
乘法：$\sqrt{a} · \sqrt{b} =$
除法：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =$
加减法：一般地，二次根式加减时，先将各二次根式化简，
再将被开方数相同的二次根式合并
乘法：$\sqrt{a} · \sqrt{b} =$
$\sqrt{ab}$
$(a ≥ 0, b ≥ 0)$除法：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} =$
$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
$(a ≥ 0, b ＞ 0)$加减法：一般地，二次根式加减时，先将各二次根式化简，
再将被开方数相同的二次根式合并
答案
乘法：$\sqrt{ab}$
除法：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
除法：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
解析
【分析】
这道题考查二次根式乘除的基本运算法则，属于基础识记类题型。解题时首先回忆二次根式乘除的运算规律：二次根式相乘除时，根指数保持2不变，仅对被开方数进行对应的乘除运算，同时题目已经给出了a、b的取值范围，保证运算后被开方数满足非负要求，直接对应法则即可得出结果。
【解析】
1. 乘法运算：根据二次根式的乘法运算法则，当$a≥0$，$b≥0$时，两个二次根式相乘，被开方数相乘、根指数不变，因此$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$；
2. 除法运算：根据二次根式的除法运算法则，当$a≥0$，$b＞0$时，两个二次根式相除，被开方数相除、根指数不变，因此$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$。
【答案】
乘法：$\sqrt{ab}$；除法：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
【知识点】
二次根式乘法法则、二次根式除法法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对二次根式乘除基本法则的掌握情况，牢记法则及对应的取值范围即可快速作答，该知识点是二次根式混合运算的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次根式乘除的基本运算法则，属于基础识记类题型。解题时首先回忆二次根式乘除的运算规律：二次根式相乘除时，根指数保持2不变，仅对被开方数进行对应的乘除运算，同时题目已经给出了a、b的取值范围，保证运算后被开方数满足非负要求，直接对应法则即可得出结果。
【解析】
1. 乘法运算：根据二次根式的乘法运算法则，当$a≥0$，$b≥0$时，两个二次根式相乘，被开方数相乘、根指数不变，因此$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$；
2. 除法运算：根据二次根式的除法运算法则，当$a≥0$，$b＞0$时，两个二次根式相除，被开方数相除、根指数不变，因此$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$。
【答案】
乘法：$\sqrt{ab}$；除法：$\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
【知识点】
二次根式乘法法则、二次根式除法法则
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对二次根式乘除基本法则的掌握情况，牢记法则及对应的取值范围即可快速作答，该知识点是二次根式混合运算的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
1. 化简$\sqrt{20}$的结果是（
A.$5\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{10}$
D.$4\sqrt{55}$
B
）.A.$5\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{10}$
D.$4\sqrt{55}$
答案
1.B
解析
【分析】
要化简二次根式$\sqrt{20}$，核心思路是利用二次根式的性质，把被开方数中能开得尽方的因数分离出来，移到根号外。首先我们可以先把20分解因数，找到其中的完全平方因数：20可以拆成$4×5$，其中4是$2^2$，属于能开得尽方的正因数，剩下的5是质数，没有其他平方因数了，就可以按照二次根式的乘法性质拆分计算，最后再对应选项判断即可。
【解析】
第一步：分解被开方数，将20拆为完全平方数和剩余因数的乘积：
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}$
第二步：根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），拆分根号：
$\sqrt{4×5}=\sqrt{4}×\sqrt{5}$
第三步：计算$\sqrt{4}=2$，代入得：
$\sqrt{4}×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
对比选项，对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 二次根式乘法性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，主要考查二次根式化简的基本规则，只要掌握将被开方数中能开尽方的因数提取到根号外的方法，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要化简二次根式$\sqrt{20}$，核心思路是利用二次根式的性质，把被开方数中能开得尽方的因数分离出来，移到根号外。首先我们可以先把20分解因数，找到其中的完全平方因数：20可以拆成$4×5$，其中4是$2^2$，属于能开得尽方的正因数，剩下的5是质数，没有其他平方因数了，就可以按照二次根式的乘法性质拆分计算，最后再对应选项判断即可。
【解析】
第一步：分解被开方数，将20拆为完全平方数和剩余因数的乘积：
$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}$
第二步：根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），拆分根号：
$\sqrt{4×5}=\sqrt{4}×\sqrt{5}$
第三步：计算$\sqrt{4}=2$，代入得：
$\sqrt{4}×\sqrt{5}=2\sqrt{5}$
对比选项，对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
1. 二次根式化简
2. 二次根式乘法性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，主要考查二次根式化简的基本规则，只要掌握将被开方数中能开尽方的因数提取到根号外的方法，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2. 下列运算正确的是（
A.$\sqrt{3} - \sqrt{2} = 1$
B.$3 + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
D.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{2} = 3$
C
）.A.$\sqrt{3} - \sqrt{2} = 1$
B.$3 + \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$
C.$\sqrt{2} × \sqrt{3} = \sqrt{6}$
D.$\sqrt{6} ÷ \sqrt{2} = 3$
答案
2.C
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减、乘除运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的运算规则：二次根式加减法中，只有被开方数相同的最简二次根式（同类二次根式）才能合并；二次根式乘除法中，被开方数对应相乘除，根指数保持不变，且运算时被开方数需满足非负性。接下来逐一验证每个选项的运算是否符合上述规则，就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式，无法直接合并相减，$\sqrt{3}-\sqrt{2}≠1$，该选项错误；
B. $3$是有理数，$\sqrt{3}$是最简二次根式，二者不是同类二次根式，无法直接合并，$3+\sqrt{3}≠3\sqrt{3}$，该选项错误；
C. 根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，该选项正确；
D. 根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}≠3$，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算、二次根式的除法运算、同类二次根式的合并
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的基本运算法则，解题的关键是明确只有同类二次根式才能合并，乘除运算只需对被开方数进行对应运算即可，掌握基础规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的加减、乘除运算，解题思路如下：首先回忆二次根式的运算规则：二次根式加减法中，只有被开方数相同的最简二次根式（同类二次根式）才能合并；二次根式乘除法中，被开方数对应相乘除，根指数保持不变，且运算时被开方数需满足非负性。接下来逐一验证每个选项的运算是否符合上述规则，就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的被开方数不同，不是同类二次根式，无法直接合并相减，$\sqrt{3}-\sqrt{2}≠1$，该选项错误；
B. $3$是有理数，$\sqrt{3}$是最简二次根式，二者不是同类二次根式，无法直接合并，$3+\sqrt{3}≠3\sqrt{3}$，该选项错误；
C. 根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），可得$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，该选项正确；
D. 根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0,b＞0$），可得$\sqrt{6}÷\sqrt{2}=\sqrt{\frac{6}{2}}=\sqrt{3}≠3$，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的乘法运算、二次根式的除法运算、同类二次根式的合并
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查二次根式的基本运算法则，解题的关键是明确只有同类二次根式才能合并，乘除运算只需对被开方数进行对应运算即可，掌握基础规则就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
3. 下列各数中，与$2-\sqrt{3}$的积为有理数的是（
A.$2+\sqrt{3}$
B.$2-\sqrt{3}$
C.$-2+\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
A
）.A.$2+\sqrt{3}$
B.$2-\sqrt{3}$
C.$-2+\sqrt{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
3.A
解析
【分析】
拿到本题首先明确解题目标：找出与$2-\sqrt{3}$相乘后结果为有理数的选项。有理数不含开方开不尽的二次根式，我们可以通过两种思路解题：思路一，逐个计算各选项与$2-\sqrt{3}$的乘积，判断结果是否存在无理数部分；思路二，回忆有理化因式的特征，形如$a-\sqrt{b}$的代数式的有理化因式为$a+\sqrt{b}$，二者利用平方差公式相乘后可消去根号，直接得到有理数，两种方法均可快速推导出答案。
【解析】
我们通过计算验证各选项：
选项A：根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可得$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$，1是有理数，符合要求；
选项B：$(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=(2-\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$，结果含$\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求；
选项C：$(2-\sqrt{3})(-2+\sqrt{3})=-(2-\sqrt{3})^2=-7+4\sqrt{3}$，结果含$\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求；
选项D：$(2-\sqrt{3})×\sqrt{3}=2\sqrt{3}-3$，结果含$\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；二次根式乘法；有理化因式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的乘法运算及有理化因式的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
拿到本题首先明确解题目标：找出与$2-\sqrt{3}$相乘后结果为有理数的选项。有理数不含开方开不尽的二次根式，我们可以通过两种思路解题：思路一，逐个计算各选项与$2-\sqrt{3}$的乘积，判断结果是否存在无理数部分；思路二，回忆有理化因式的特征，形如$a-\sqrt{b}$的代数式的有理化因式为$a+\sqrt{b}$，二者利用平方差公式相乘后可消去根号，直接得到有理数，两种方法均可快速推导出答案。
【解析】
我们通过计算验证各选项：
选项A：根据平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可得$(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1$，1是有理数，符合要求；
选项B：$(2-\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=(2-\sqrt{3})^2=4-4\sqrt{3}+3=7-4\sqrt{3}$，结果含$\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求；
选项C：$(2-\sqrt{3})(-2+\sqrt{3})=-(2-\sqrt{3})^2=-7+4\sqrt{3}$，结果含$\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求；
选项D：$(2-\sqrt{3})×\sqrt{3}=2\sqrt{3}-3$，结果含$\sqrt{3}$，是无理数，不符合要求。
综上，符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式；二次根式乘法；有理化因式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查二次根式的乘法运算及有理化因式的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 我们把形如 $a + b\sqrt{x}$（$a$，$b$ 为有理数，$\sqrt{x}$ 为已化为最简的二次根式）的数叫作 $\sqrt{x}$ 型无理数，如 $2 + 3\sqrt{5}$ 是 $\sqrt{5}$ 型无理数，则 $(\sqrt{2} + \sqrt{6})^2$ 是（
A.$\sqrt{2}$ 型无理数
B.$\sqrt{3}$ 型无理数
C.$\sqrt{5}$ 型无理数
D.$\sqrt{12}$ 型无理数
B
）。A.$\sqrt{2}$ 型无理数
B.$\sqrt{3}$ 型无理数
C.$\sqrt{5}$ 型无理数
D.$\sqrt{12}$ 型无理数
答案
4.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确题目给出的“√x型无理数”的定义，核心是将目标式子化简为$a+b\sqrt{x}$的形式，且$\sqrt{x}$必须是最简二次根式。解题思路如下：第一步用完全平方公式展开$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2$；第二步按照二次根式的运算法则计算各项，将所有二次根式化为最简形式；第三步整理成定义要求的标准形式，对照选项判断类型即可。
【解析】
利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2&=(\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2\\&=2 + 2\sqrt{12} + 6\\&=8 + 2×2\sqrt{3}\\&=8 + 4\sqrt{3}\end{aligned}$
根据定义，$8+4\sqrt{3}$中$a=8$（有理数），$b=4$（有理数），最简二次根式为$\sqrt{3}$，因此它是$\sqrt{3}$型无理数。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 二次根式运算 3. 最简二次根式
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的基础运算，解题关键是正确展开式子并将根式化为最简形式再对照定义判断，属于基础题型，只要掌握二次根式的基本运算规则即可得分。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先要明确题目给出的“√x型无理数”的定义，核心是将目标式子化简为$a+b\sqrt{x}$的形式，且$\sqrt{x}$必须是最简二次根式。解题思路如下：第一步用完全平方公式展开$(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2$；第二步按照二次根式的运算法则计算各项，将所有二次根式化为最简形式；第三步整理成定义要求的标准形式，对照选项判断类型即可。
【解析】
利用完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$展开计算：
$\begin{aligned}(\sqrt{2}+\sqrt{6})^2&=(\sqrt{2})^2 + 2×\sqrt{2}×\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2\\&=2 + 2\sqrt{12} + 6\\&=8 + 2×2\sqrt{3}\\&=8 + 4\sqrt{3}\end{aligned}$
根据定义，$8+4\sqrt{3}$中$a=8$（有理数），$b=4$（有理数），最简二次根式为$\sqrt{3}$，因此它是$\sqrt{3}$型无理数。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式 2. 二次根式运算 3. 最简二次根式
【点评】
本题结合新定义考查二次根式的基础运算，解题关键是正确展开式子并将根式化为最简形式再对照定义判断，属于基础题型，只要掌握二次根式的基本运算规则即可得分。
【难度系数】
0.7
5. 计算：$5\sqrt{3} × 2\sqrt{3} =$
30
；$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} =$ 2
；$\sqrt{48} + \sqrt{3} =$ $5\sqrt{3}$
；$4\sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{8} =$ 0
。答案
5. 30 2 $5\sqrt{3}$ 0
解析
【分析】
本题考查二次根式的四则运算，解题思路如下：①做二次根式乘法时，可分别将系数相乘、被开方数相乘，再将所得结果相乘后化简；②做二次根式除法时，可先将被开方数相除，再对结果化简；③做二次根式加减时，先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变。
【解析】
1. 计算$5\sqrt{3} × 2\sqrt{3}$：
原式$=(5×2)×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=10×3=30$
2. 计算$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$：
原式$=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2$
3. 计算$\sqrt{48} + \sqrt{3}$：
先化简得$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，
原式$=4\sqrt{3}+\sqrt{3}=(4+1)\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
4. 计算$4\sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{8}$：
先化简得$4\sqrt{\frac{1}{2}}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，
原式$=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0$
【答案】
$30$；$2$；$5\sqrt{3}$；$0$
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式化简；同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式运算法则的应用，计算时注意先化简再运算，可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的四则运算，解题思路如下：①做二次根式乘法时，可分别将系数相乘、被开方数相乘，再将所得结果相乘后化简；②做二次根式除法时，可先将被开方数相除，再对结果化简；③做二次根式加减时，先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式，合并时仅系数相加减，被开方数保持不变。
【解析】
1. 计算$5\sqrt{3} × 2\sqrt{3}$：
原式$=(5×2)×(\sqrt{3}×\sqrt{3})=10×3=30$
2. 计算$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$：
原式$=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2$
3. 计算$\sqrt{48} + \sqrt{3}$：
先化简得$\sqrt{48}=\sqrt{16×3}=4\sqrt{3}$，
原式$=4\sqrt{3}+\sqrt{3}=(4+1)\sqrt{3}=5\sqrt{3}$
4. 计算$4\sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{8}$：
先化简得$4\sqrt{\frac{1}{2}}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，
原式$=2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0$
【答案】
$30$；$2$；$5\sqrt{3}$；$0$
【知识点】
二次根式乘除运算；二次根式化简；同类二次根式合并
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题型，核心考查二次根式运算法则的应用，计算时注意先化简再运算，可有效降低出错概率。
【难度系数】
0.85
6. 已知$x · y$是有理数，$x$是$\sqrt{2}$，$y$是无理数，则$y=$
$\sqrt{2}$（答案不唯一）
.(写出一个即可)答案
6. $\sqrt{2}$（答案不唯一）
解析
【分析】
首先明确题目的所有约束条件：x固定为$\sqrt{2}$，要求y是无理数，且x·y的乘积为有理数。解题的核心思路是利用二次根式的运算特性：两个相同的二次根式相乘，结果会消去根号变为有理数。我们可以先预设x·y的结果为一个简单的有理数，再反推y的取值即可。
【解析】
已知$x=\sqrt{2}$，我们先预设$x·y$的结果为有理数2，根据乘除互逆关系可得：
$y=2÷ x=2÷\sqrt{2}=\sqrt{2}$
验证：$\sqrt{2}$是无理数，满足y为无理数的要求，且$x·y=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$是有理数，完全符合题目要求。也可选择其他形如$k\sqrt{2}$（k为非零有理数）的无理数作为y，均满足条件。
【答案】
$\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 无理数的概念
2. 二次根式乘法运算
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对无理数运算特性的理解，解题时可以通过预设乘积为有理数反推所求的无理数，答案灵活多样，只要符合约束条件即可。
【难度系数】
0.8
首先明确题目的所有约束条件：x固定为$\sqrt{2}$，要求y是无理数，且x·y的乘积为有理数。解题的核心思路是利用二次根式的运算特性：两个相同的二次根式相乘，结果会消去根号变为有理数。我们可以先预设x·y的结果为一个简单的有理数，再反推y的取值即可。
【解析】
已知$x=\sqrt{2}$，我们先预设$x·y$的结果为有理数2，根据乘除互逆关系可得：
$y=2÷ x=2÷\sqrt{2}=\sqrt{2}$
验证：$\sqrt{2}$是无理数，满足y为无理数的要求，且$x·y=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$是有理数，完全符合题目要求。也可选择其他形如$k\sqrt{2}$（k为非零有理数）的无理数作为y，均满足条件。
【答案】
$\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 无理数的概念
2. 二次根式乘法运算
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对无理数运算特性的理解，解题时可以通过预设乘积为有理数反推所求的无理数，答案灵活多样，只要符合约束条件即可。
【难度系数】
0.8
