登录
1. 已知平行四边形ABCD中，∠A + ∠C = 60°，则∠B的度数为(
A.60°
B.120°
C.135°
D.150°
D
)。A.60°
B.120°
C.135°
D.150°
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先回忆平行四边形角的相关性质：平行四边形对角相等，邻角互补。首先根据∠A和∠C是平行四边形的对角，二者相等，结合已知∠A+∠C=60°可求出∠A的度数，再根据∠A与∠B是邻角，二者之和为180°，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A = ∠C（平行四边形对角相等），且∠A + ∠B = 180°（平行四边形邻角互补）
又
∵∠A + ∠C = 60°
∴2∠A = 60°，解得∠A = 30°
将∠A=30°代入∠A + ∠B = 180°，得：
∠B = 180° - 30° = 150°
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补
【点评】
本题是基础性质应用题，解题核心是熟练掌握平行四边形角的性质，注意区分对角和邻角的数量关系，避免混淆性质导致计算错误。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆平行四边形角的相关性质：平行四边形对角相等，邻角互补。首先根据∠A和∠C是平行四边形的对角，二者相等，结合已知∠A+∠C=60°可求出∠A的度数，再根据∠A与∠B是邻角，二者之和为180°，即可求出∠B的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A = ∠C（平行四边形对角相等），且∠A + ∠B = 180°（平行四边形邻角互补）
又
∵∠A + ∠C = 60°
∴2∠A = 60°，解得∠A = 30°
将∠A=30°代入∠A + ∠B = 180°，得：
∠B = 180° - 30° = 150°
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角相等；平行四边形邻角互补
【点评】
本题是基础性质应用题，解题核心是熟练掌握平行四边形角的性质，注意区分对角和邻角的数量关系，避免混淆性质导致计算错误。
【难度系数】
0.9
2. 如右图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8 km，则M、C两点间的距离为(
A.1.2 km
B.2.4 km
C.3.6 km
D.4.8 km
B
)。A.1.2 km
B.2.4 km
C.3.6 km
D.4.8 km
答案
2.B
解析
【分析】
首先观察图形和已知条件：AC与BC互相垂直，可判断△ABC是直角三角形，直角顶点为C；同时M是AB的中点，要求CM的长度，此时联想到直角三角形的核心性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，代入AB的长度即可快速求出CM的数值。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形。
∵M是AB的中点，
∴CM是Rt△ABC斜边AB上的中线。
根据直角三角形斜边中线的性质可得：$\mathrm{CM}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}$。
将AB=4.8km代入计算：$\mathrm{CM}=\frac{1}{2}×4.8=2.4\mathrm{km}$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何题，侧重对定理直接应用的考查，只要熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，就能快速求解，无复杂推导过程。
【难度系数】
0.8
首先观察图形和已知条件：AC与BC互相垂直，可判断△ABC是直角三角形，直角顶点为C；同时M是AB的中点，要求CM的长度，此时联想到直角三角形的核心性质：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，代入AB的长度即可快速求出CM的数值。
【解析】
解：
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，即△ABC为直角三角形。
∵M是AB的中点，
∴CM是Rt△ABC斜边AB上的中线。
根据直角三角形斜边中线的性质可得：$\mathrm{CM}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}$。
将AB=4.8km代入计算：$\mathrm{CM}=\frac{1}{2}×4.8=2.4\mathrm{km}$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础几何题，侧重对定理直接应用的考查，只要熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，就能快速求解，无复杂推导过程。
【难度系数】
0.8
3.如右图，AC为菱形ABCD的对角线，若∠D = 140°，则∠BAC的度数为(
A.40°
B.20°
C.30°
D.15°
B
)。A.40°
B.20°
C.30°
D.15°
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先结合图形明确已知条件：四边形ABCD是菱形，∠D=140°，AC是菱形的对角线，要求∠BAC的度数。首先回忆菱形的性质：菱形的邻角互补，可先计算出∠DAB的度数；其次菱形的对角线平分一组对角，AC会平分∠DAB，因此∠BAC是∠DAB的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴∠D + ∠DAB = 180°（菱形邻角互补）
∵∠D = 140°
∴∠DAB = 180° - 140° = 40°
又
∵AC是菱形ABCD的对角线
∴AC平分∠DAB（菱形对角线平分一组对角）
∴∠BAC = $\frac{1}{2}$∠DAB = $\frac{1}{2}$×40° = 20°
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查菱形的角、对角线相关性质的应用，解题核心是熟练掌握菱形的性质并灵活调用，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解题时先结合图形明确已知条件：四边形ABCD是菱形，∠D=140°，AC是菱形的对角线，要求∠BAC的度数。首先回忆菱形的性质：菱形的邻角互补，可先计算出∠DAB的度数；其次菱形的对角线平分一组对角，AC会平分∠DAB，因此∠BAC是∠DAB的一半，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴∠D + ∠DAB = 180°（菱形邻角互补）
∵∠D = 140°
∴∠DAB = 180° - 140° = 40°
又
∵AC是菱形ABCD的对角线
∴AC平分∠DAB（菱形对角线平分一组对角）
∴∠BAC = $\frac{1}{2}$∠DAB = $\frac{1}{2}$×40° = 20°
故选B。
【答案】
B
【知识点】
菱形的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何题，重点考查菱形的角、对角线相关性质的应用，解题核心是熟练掌握菱形的性质并灵活调用，整体计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
4. 在$□ ABCD$中，若$∠ B=70°$，则$∠ D=$(
A.$35°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$130°$
B
)。A.$35°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$130°$
答案
4.B
解析
【分析】
这道题考查平行四边形角的相关性质，解题时首先回忆平行四边形的角的特征：平行四边形的两组对角分别相等。题目中给出的∠B和要求的∠D是平行四边形的一组对角，因此二者度数相等，直接代入已知角度就能求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，可得∠D=∠B，
又
∵已知∠B=70°，
∴∠D=70°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形对角相等
【点评】
本题是基础类题目，直接考查平行四边形的核心性质，只要熟练掌握平行四边形的基本性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
这道题考查平行四边形角的相关性质，解题时首先回忆平行四边形的角的特征：平行四边形的两组对角分别相等。题目中给出的∠B和要求的∠D是平行四边形的一组对角，因此二者度数相等，直接代入已知角度就能求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，可得∠D=∠B，
又
∵已知∠B=70°，
∴∠D=70°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形对角相等
【点评】
本题是基础类题目，直接考查平行四边形的核心性质，只要熟练掌握平行四边形的基本性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
1.菱形ABCD中，∠BAD = 60°，边长为4，则对角线AC的长为
$4\sqrt{3}$
。答案
1. $4\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的相关性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。我们可以先连接两条对角线交于点O，将求AC的长度转化为求直角三角形中直角边AO长度的2倍。已知∠BAD=60°，结合AB=AD可判定△ABD是等边三角形，先求出BD的长度，再利用勾股定理计算AO的长度，最终得到AC的长。
【解析】
设菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为4
∴ AB=AD=4，AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC平分∠BAD
又
∵ ∠BAD=60°
∴ △ABD是等边三角形
∴ BD=AB=4
∴ OB=$\frac{1}{2}$BD=2
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OA = $\sqrt{AB^2 - OB^2}$ = $\sqrt{4^2 - 2^2}$ = $\sqrt{16-4}$ = $\sqrt{12}$ = $2\sqrt{3}$
∴ AC = $2OA = 2×2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用菱形对角线的性质构造直角三角形，结合特殊三角形的性质和勾股定理计算线段长度，是菱形相关考点的常见考法。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆菱形的相关性质：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。我们可以先连接两条对角线交于点O，将求AC的长度转化为求直角三角形中直角边AO长度的2倍。已知∠BAD=60°，结合AB=AD可判定△ABD是等边三角形，先求出BD的长度，再利用勾股定理计算AO的长度，最终得到AC的长。
【解析】
设菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。
∵ 四边形ABCD是菱形，边长为4
∴ AB=AD=4，AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AC平分∠BAD
又
∵ ∠BAD=60°
∴ △ABD是等边三角形
∴ BD=AB=4
∴ OB=$\frac{1}{2}$BD=2
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OA = $\sqrt{AB^2 - OB^2}$ = $\sqrt{4^2 - 2^2}$ = $\sqrt{16-4}$ = $\sqrt{12}$ = $2\sqrt{3}$
∴ AC = $2OA = 2×2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是利用菱形对角线的性质构造直角三角形，结合特殊三角形的性质和勾股定理计算线段长度，是菱形相关考点的常见考法。
【难度系数】
0.8
2.如右图，在菱形ABCD中，E为对角线AC上一点，AE = AD，联接BE，若∠AEB = 70°，则∠BAD的度数为
80°或80度
。答案
2. 80°或80度
解析
【分析】
解题时先结合菱形的性质推导边的关系：菱形的四条边相等，可得AB=AD，结合已知AE=AD，可推出AB=AE，即△ABE为等腰三角形；再根据等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠AEB=70°，可求出△ABE的顶角∠BAE的度数；最后利用菱形对角线平分一组对角的性质，可知∠BAD是∠BAE的2倍，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，对角线AC平分∠BAD，即∠BAD=2∠BAE。
∵AE=AD，
∴AB=AE，即△ABE为等腰三角形，
∴∠ABE=∠AEB=70°。
根据三角形内角和为180°，在△ABE中：
∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-70°-70°=40°，
∴∠BAD=2×∠BAE=2×40°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
菱形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是结合菱形和等腰三角形的性质推导角的数量关系，解题时只要熟练掌握相关图形的基本性质，就能快速梳理出计算逻辑拿到分数。
【难度系数】
0.7
解题时先结合菱形的性质推导边的关系：菱形的四条边相等，可得AB=AD，结合已知AE=AD，可推出AB=AE，即△ABE为等腰三角形；再根据等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠AEB=70°，可求出△ABE的顶角∠BAE的度数；最后利用菱形对角线平分一组对角的性质，可知∠BAD是∠BAE的2倍，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，对角线AC平分∠BAD，即∠BAD=2∠BAE。
∵AE=AD，
∴AB=AE，即△ABE为等腰三角形，
∴∠ABE=∠AEB=70°。
根据三角形内角和为180°，在△ABE中：
∠BAE=180°-∠ABE-∠AEB=180°-70°-70°=40°，
∴∠BAD=2×∠BAE=2×40°=80°。
【答案】
80°
【知识点】
菱形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是结合菱形和等腰三角形的性质推导角的数量关系，解题时只要熟练掌握相关图形的基本性质，就能快速梳理出计算逻辑拿到分数。
【难度系数】
0.7
3.如右图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, CE // BD , DE // AC。若AC = 4,则四边形OCED的周长为
8
。答案
3.8
解析
【分析】
解题时先从两组对边平行的条件入手，先判定四边形OCED为平行四边形；再结合矩形对角线相等且互相平分的性质，得到平行四边形OCED的一组邻边相等，从而判定它是菱形；最后根据AC的长度求出菱形的边长，进而计算周长。
【解析】
∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，且矩形对角线互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC=2$，$OD=\frac{1}{2}BD=2$，
∴OC=OD，
∴平行四边形OCED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
∴菱形OCED的四条边长均为2，
∴四边形OCED的周长=$4×2=8$。
【答案】
8
【知识点】
矩形的性质；平行四边形判定；菱形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先根据已知条件逐步判定四边形OCED的形状，再结合特殊四边形的性质计算边长，是特殊四边形章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从两组对边平行的条件入手，先判定四边形OCED为平行四边形；再结合矩形对角线相等且互相平分的性质，得到平行四边形OCED的一组邻边相等，从而判定它是菱形；最后根据AC的长度求出菱形的边长，进而计算周长。
【解析】
∵CE//BD，DE//AC，
∴四边形OCED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，且矩形对角线互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC=2$，$OD=\frac{1}{2}BD=2$，
∴OC=OD，
∴平行四边形OCED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），
∴菱形OCED的四条边长均为2，
∴四边形OCED的周长=$4×2=8$。
【答案】
8
【知识点】
矩形的性质；平行四边形判定；菱形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先根据已知条件逐步判定四边形OCED的形状，再结合特殊四边形的性质计算边长，是特殊四边形章节的常见题型。
【难度系数】
0.8
