【典例1】已知集合$A$中有三个元素：$a-3$，$2a-1$，$a^2+1$。集合$B$中也有三个元素：$0,1,x$。
(1)若$-3\in A$，求实数$a$的值；
(2)若$x^2\in B$，求实数$x$的值。
解题指导 第1步:针对$-3$是集合$A$中的哪个元素，$x^2$是集合$B$中的哪个元素进行分类讨论，列出方程求解。
第2步:检验是否满足集合中元素的互异性。
答案 解:(1)因为集合$A$中有三个元素:$a-3$，$2a-1$，$a^2+1$，且$-3\in A$，
所以$a-3=-3$或$2a-1=-3$，
解得$a=0$或$a=-1$。
当$a=0$时，集合$A$中的元素为$-3,-1,1$，成立；
当$a=-1$时，集合$A$中的元素为$-4,-3,2$，成立。
综上，实数$a$的值为0或$-1$。
(2)因为集合$B$中有三个元素:$0,1,x$，且$x^2\in B$，所以$x^2=0$或$x^2=1$或$x^2=x$，
解得$x=0$或$x=1$或$x=-1$。
因为集合中的元素具有互异性，
所以$x≠0,x≠1$，所以$x=-1$。
故实数$x$的值为$-1$。

解：
(1) 因为集合A中有三个元素：$a-3$，$2a-1$，$a^2+1$，且$-3\in A$，
且$a^2+1\ge1$，不可能等于$-3$，
所以可得$a-3=-3$或$2a-1=-3$，
解得$a=0$或$a=-1$。
当$a=0$时，集合A的元素为$-3,-1,1$，满足集合元素的互异性；
当$a=-1$时，集合A的元素为$-4,-3,2$，满足集合元素的互异性。
综上，实数$a$的值为$0$或$-1$。
(2) 因为集合B中有三个元素：$0,1,x$，且$x^2\in B$，
所以$x^2=0$或$x^2=1$或$x^2=x$，
解得$x=0$或$x=1$或$x=-1$。
由集合元素的互异性可知，集合B中元素互不相等，因此$x≠0$且$x≠1$，
所以$x=-1$。
综上，实数$x$的值为$-1$。

【变式1】已知集合A中有三个元素：$2,3,a^2 + 2a - 3$.集合B中有两个元素：$2,|a + 3|$.若$5 \in A$且$5 ∉ B$,求实数a的值.

解:因为集合A中含有元素2，3，$a^2+2a-3$，且$5 \in A$，
所以$a^2+2a-3=5$，
所以$a^2+2a-8=0$，即$(a-2)(a+4)=0$，
所以$a=2$或$a=-4$。
因为集合B中含有元素2，$|a+3|$，且$5 ∉ B$，
所以$|a+3| ≠ 5$，所以$a ≠ 2$且$a ≠ -8$。
综上，实数$a$的值为$-4$。(要同时满足集合A和集合B求出的$a$的取值)

【变式2】（一题多解）已知集合A表示关于x的方程$x^2 + bx + c = 0$的解的集合，且$2 \in A$，若集合A的所有元素的平方和等于13，求b，c的值。

解:方法1:设方程$x^2+bx+c=0$的另一个解为$x_2$，则$2^2+x_2^2=13$，所以$x_2=\pm3$。
当$x_2=3$时，由根与系数的关系，得$2+3=-b$，$2×3=c$，所以$b=-5$，$c=6$；
当$x_2=-3$时，由根与系数的关系，得$2+(-3)=-b$，$2×(-3)=c$，所以$b=1$，$c=-6$。
综上，$b=1$，$c=-6$或$b=-5$，$c=6$。
方法2:设方程$x^2+bx+c=0$的解分别为$x_1$，$x_2$，若$x_1=x_2$，则集合A中只有一个元素2，不满足所有元素的平方和等于13，所以$x_1 ≠ x_2$。由根与系数的关系可知，$x_1+x_2=-b$，$x_1x_2=c$，所以$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=b^2-2c=13$.①
又因为2是方程$x^2+bx+c=0$的一个解，所以$4+2b+c=0$.②
联立①②，解得$b=1$，$c=-6$或$b=-5$，$c=6$。