6.已知 θ ∈ $[0, \frac{π}{2}]$，若 $\tan θ = \frac{5}{12}$，则
$\frac{\sqrt{2} \cos^2 \frac{θ}{2}}{2 \sin(θ + \frac{π}{4})}$
的值为。

$\frac{\sqrt{2}\cos^2 \frac{θ}{2}}{2\sin( θ+\frac{π}{4})} = \frac{\sqrt{2}·\frac{1+\cosθ}{2}}{2\sinθ\cos\frac{π}{4}+2\cosθ\sin\frac{π}{4}} = \frac{1+\cosθ}{2\sinθ+2\cosθ}$。
因为 $\tanθ=\frac{5}{12}$，所以 $\sinθ=\frac{5}{12}\cosθ$。
又 $\sin^2θ+\cos^2θ=1$，所以 $\frac{25}{144}\cos^2θ+\cos^2θ=1$。
因为 $θ\in [ 0,\frac{π}{2}]$，所以 $\cosθ=\frac{12}{13}$，所以 $\sinθ=\frac{5}{13}$，
所以原式$=\frac{1+\frac{12}{13}}{2×\frac{5}{13}+2×\frac{12}{13}}=\frac{25}{34}$。

7. 数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能展示数学命题正确性的直观证明方法.由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如图，C为半圆O上一点，$CH ⊥ AB$，垂足为H，记$∠ COB=θ$，则由$\tan ∠ CAH=\frac{CH}{AH}$可以直接证明的三角函数公式是（）


A.$\tan \frac{θ}{2}=\frac{\sin θ}{1-\cos θ}$
B.$\tan \frac{θ}{2}=\frac{\sin θ}{1+\cos θ}$
C.$\tan \frac{θ}{2}=\frac{1-\cos θ}{\sin θ}$
D.$\tan \frac{θ}{2}=\frac{1+\cos θ}{\sin θ}$

由 $∠ COB=θ$，$AO=OC$，得 $∠ CAH=\frac{θ}{2}$。
因为 $\tan∠ CAH=\tan\frac{θ}{2}=\frac{CH}{AH}$，$\sinθ=\frac{CH}{OC}$，$\cosθ=\frac{OH}{OC}$，$AH=AO+OH=OC+OH$，
即 $CH=OC·\sinθ$，$OH=OC·\cosθ$，
所以 $\tan\frac{θ}{2}=\frac{CH}{AH}=\frac{OC·\sinθ}{OC+OH}=\frac{OC·\sinθ}{OC+OC·\cosθ}=\frac{\sinθ}{1+\cosθ}$，故选项B符合题意。

8.(多选)已知函数$f(x)=-2\sin^2 x + \sin 2x +1$,则下列说法正确的是 ()

A.$f(x)$的最小正周期为$π$
B.$(\dfrac{π}{8},0)$是$f(x)$图象的一个对称中心
C.$f(x)$在$[0,π]$内有2个零点
D.若$f(-x_0)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,则$f(x_0+\dfrac{π}{4})=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

由题意，得 $f(x)=1-2\sin^2x+\sin2x=\sin2x+\cos2x=\sqrt{2}\sin( 2x+\frac{π}{4})$。
根据 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\frac{2π}{2}=π$，知A项正确；
因为 $f( \frac{π}{8})=\sqrt{2}\sin\frac{π}{2}=\sqrt{2}$，函数取到最大值，
所以 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{π}{8}$ 对称，不关于点 $( \frac{π}{8},0)$ 中心对称，所以B项不正确；
当 $x\in[0,π]$ 时，$2x+\frac{π}{4}\in[ \frac{π}{4},\frac{9π}{4}]$，结合正弦函数的性质，知 $f(x)$ 在 $[0,π]$ 内有2个零点，所以C项正确；
根据B项的分析，$f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{π}{8}$ 对称，所以 $f(-x_0)=f( x_0+\frac{π}{4})$ 恒成立，
所以若 $f(-x_0)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $f( x_0+\frac{π}{4})=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以D项正确。

9.已知$α,β$为锐角，且$5\sinα=2\sinβ$，$5\cosα + 2\cosβ = 5$，则$\frac{α}{2} + β=$.
(提示:将两式整理并相除，弦化切得$\tan \frac{α}{2}$和$\tan β$的关系，整理并进一步求$\frac{α}{2}+β$即可)

将题设条件中的两式整理并相除，得 $\frac{5\sinα}{5-5\cosα}=\frac{2\sinβ}{2\cosβ}$，
化简，得 $\frac{\sinα}{1-\cosα}=\tanβ$，
即 $\frac{2\sin \frac{α}{2}\cos \frac{α}{2}}{2\sin^2 \frac{α}{2}}=\frac{1}{\tan \frac{α}{2}}=\tanβ$，
所以 $\tan \frac{α}{2}\tanβ=1$，所以 $\sin \frac{α}{2}\sinβ=\cos \frac{α}{2}\cosβ$，
所以 $\cos( \frac{α}{2}+β)=0$。
因为 $α,β$ 为锐角，所以 $\frac{α}{2}+β=\frac{π}{2}$。

10. 在 $△ ABC$ 中，$\cos B = \dfrac{1}{3}$，则
$\cos^2 \dfrac{B}{2} + \tan^2 \dfrac{A+C}{2} = \_\_\_\_\_\_$.
(提示:先利用三角恒等变换化简得到
$\cos^2 \dfrac{B}{2} + \tan^2 \dfrac{A+C}{2} = \dfrac{1+\cos B}{2} + \dfrac{1+\cos B}{1-\cos B}$,从而代入 $\cos B=\dfrac{1}{3}$,求出答案)

$\cos^2 \frac{B}{2}+\tan^2 \frac{A+C}{2} = \frac{1+\cos B}{2}+\frac{\sin^2 \frac{A+C}{2}}{\cos^2 \frac{A+C}{2}} = \frac{1+\cos B}{2}+\frac{\frac{1-\cos(A+C)}{2}}{\frac{1+\cos(A+C)}{2}} = \frac{1+\cos B}{2}+\frac{1-\cos(A+C)}{1+\cos(A+C)} = \frac{1+\cos B}{2}+\frac{1-\cos(π-B)}{1+\cos(π-B)} = \frac{1+\cos B}{2}+\frac{1+\cos B}{1-\cos B} = \frac{1+\frac{1}{3}}{2}+\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{8}{3}$。

11.已知函数$f(x)=\sqrt{6}\sin(ω x + \frac{π}{4})-\sqrt{2}\sin(ω x - \frac{π}{4})$的最小正周期为$π$，其中$ω＞0$。
(1)求$ω$，并求曲线$y=f(x)$的对称中心；
(2)若$f(θ)=2\sqrt{2}$，求$\tan2θ$的值。
答案 P69

(1)由题意，得 $f(x)=\sqrt{6}\sin( ω x+\frac{π}{4})-\sqrt{2}\sin( ω x-\frac{π}{4}) = \sqrt{6}\sin( ω x+\frac{π}{4})+\sqrt{2}\cos( ω x+\frac{π}{4}) = 2\sqrt{2}[ \frac{\sqrt{3}}{2}\sin( ω x+\frac{π}{4})+\frac{1}{2}\cos( ω x+\frac{π}{4})] = 2\sqrt{2}\sin( ω x+\frac{π}{4}+\frac{π}{6}) = 2\sqrt{2}\sin( ω x+\frac{5π}{12})$。
因为函数的最小正周期为 $π$，$ω＞0$，所以 $\frac{2π}{ω}=π$，
所以 $ω=2$，
所以 $f(x)=2\sqrt{2}\sin( 2x+\frac{5π}{12})$。
由 $2x+\frac{5π}{12}=kπ,k\in\mathbb{Z}$，得 $x=\frac{kπ}{2}-\frac{5π}{24},k\in\mathbb{Z}$，
所以曲线 $y=f(x)$ 的对称中心为 $( \frac{kπ}{2}-\frac{5π}{24},0),k\in\mathbb{Z}$。
(2)因为 $f(θ)=2\sqrt{2}\sin( 2θ+\frac{5π}{12})=2\sqrt{2}$，所以 $\sin( 2θ+\frac{5π}{12})=1$，
所以 $2θ+\frac{5π}{12}=2kπ+\frac{π}{2},k\in\mathbb{Z}$，即 $2θ=2kπ+\frac{π}{12},k\in\mathbb{Z}$，
所以 $\tan2θ=\tan( 2kπ+\frac{π}{12})=\tan\frac{π}{12}=\tan( \frac{π}{3}-\frac{π}{4})=\frac{\tan\frac{π}{3}-\tan\frac{π}{4}}{1+\tan\frac{π}{3}\tan\frac{π}{4}}=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$。